1. Bir jinsli va umumlashgan bir jinsli differensial tenglama

1. Bir jinsli va umumlashgan bir jinsli differensial tenglama.

Bir jinsli tenglamaga ta’rif berishdan oldin avval bir jinsli funksiyaga ta’rif beramiz.

Ta’rif 1. Agar f(x,y) funksiyada x va y o’zgaruvchilarni mos ravishda tx va ty ga almashtirganda (bu yerda t-ixtiyoriy parametr) t ga ko’paytirilganda yana o’sha funksiya hosil bo’lsa, ya’ni f(tx,ty)= f(x,y) shart bajarilsa, f(x,y) funksiya n o’lchovli bir jinsli funksiya deb ataladi.

Ta’rif 2. ning har qanday qiymatida

ayniyat bajarilsa, funksiya, o’zgaruvchilarga nisbatan  - o’lchovli bir jinsli funksiya deyiladi.

Ushbu M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 tenglamada M(x,y), N(x,y) lar bir xil o’lchovli bir jinsli funksiyalar bo’lgandagina bir jinsli tenglama bo’ladi. Bu ikkita bir xil o’lchovli bir jinsli funksiyalar nisbati nol o’lchovli funksiya bo’lishi kelib chiqadi.

Ta’rif. Agar birinchi tartibli y′=f(x,y) differensial tenglamaning o’ng tomoni x va y ga nisbatan nol o’lchovli bir jinsli funksiya bo’lsa,bunday tenglama bir jinsli tenglama deyiladi.

Faraz etaylik hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglama

(1) berilgan bo’lib, bunda , o’zgaruvchilarga nisbatan nol (0) o’lchovli bir jinsli funkiya bo’lsa, bunday tenglamaga bir jinsli tenglama deyiladi.

bunda deb olsak,

bo’ladi. U holda (1) tenglamani

(2)

ko’rinishda yozish mumkin. (2) tenglamada

(3)

almashtirishni olsak, u o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamaga aylanadi. (3) dan bunga asosan (2) tenglamani quyidagicha yozish mumkin. bundan

(4)

Bu esa o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadir.

Bunda 2 hol bo’lishi mumkin.

1-hol.

bu holda (4) dan

integrallab bo’lgach (3) dan qiymatini keltirib qo’ysak, (1) tenglamaning umumiy integraliga ega bo’lamiz.