1. Bir jinsli va umumlashgan bir jinsli differensial tenglama

2-hol.

Bunga asosan (2) tenglama ko’rinishga keladi.

Bundan

bu holda tenglamaning umumiy yechimi koordinata boshidan o’tuvchi tug’ri chiziqlar oilasidan iborat bo’ladi.

Eslatma tenglama yechimlarga ega bo’lishi mumkin bu hol ning har-biri tenglamaning integral chizig’i bo’ladi.

1-Misol

Bular ham tenglamaning yechimlari bo’ladi.

Chiziqli differensial tenglamalar va yechimlarilarning xossalari

Ta’rif. Noma’lum funksiya va uning hosilasiga nisbatan chiziqli (birinchi darajali) bo’lgan tenglamalar birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar deyiladi.

Bunday tenglamaning umumiy ko’rinishi

(1)

dan iborat. Bunda ko’rilayotgan oraliqda uzluksiz funksiyalardir. Agar ko’rilayotgan oraliqda  ning hamma qiymatlarida

bo’lmasa, (1) tenglamaning ko’rinishi quyidagicha bo’ladi.

y  P(x) y  Q (x)

(2)

Bu yerda

P(x)

va

Q(x)

lar x ning noma’lum uzluksiz funksiyalaridir, yoki

o’zgarmasdir.

(2) tenglamaga bir jinsli bo’lamagan chiziqli differensial tenglama deyiladi.

Agar (2) da bo’lsa

(3)

tenglamaga bir jinsli chiziqli differensial tenglama deyiladi. ((2) tenglamaga mos bo’lgan).

(3) tenglama o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadir.

(4)

Chiziqli differensial tenglamalarni yana bir usul ixtiyoriy o’zgarmasni variatsiyalash usuli bilan yechiladi.

 ning o’zgarmas qiymatlarida (4), (3) tenglamani qanoatlantiradi. Ya’ni (3) tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi. (2) tenglamaning ham umumiy yechimini  ni ning funksiyasi deb, (4) ko’rinishda izlaymiz.

U holda (4) dan

(5)

(4) va (5) ga asosan (2) tenglama

Bundan

(6)

U holda (4) va (6) ga asosan (2) ning umumiy yechimi

(7)

bo’ladi.

Bu bir jinsli bo’lmagan chiziqli tenglamaning umumiy yechimini topish formulasi.

(7) dan ko’rinadikim chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimi, ikkita kvadratura bilan aniqlanadi.

Yechimni bunday usul bilan topishga, yuqorida aytilgani kabi o’zgarmaslarni variatsiyalash usuli yoki Lagranj usuli deyiladi.

Bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamaning umumiy yechimini ikkita yechimlar yig’indisidan iboratdir.

Ulardan biri bir jinsli (3) tenglamaning umumiy yechimidan, ikkinchisi esa, (2) tenglamaning xususiy

yechimdan iboratdir.

(7) ni integrallab bo’lgach u quyidagi ko’rinishga keladi.

Bundan ko’rinadikim chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimi ixtiyoriy o’zgarmasga nisbatan chiziqli funksiyadan iboratdir.

(2) tenglamaning umumiy yechimini Eyler-Bernulli usulidan foydalanib topish ham mumkin.

(2) tenglamada

(8)

almashtirishni olamiz. Bunda va lar ixtiyoriy uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalardir.

(9)

(10)

funksiya ixtiyoriy bo’lgani uchun, uni shunday tanlab olamizkim

sharti bajarilsin.

Bundan

(11)

(11) ni (10) ga olib borib qo’ysak

(12)

ga ega bo’lamiz

(8), (11), (12) ga asosan bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamaning umumiy yechimi.