Nazariy fizika kursi

8.1. Uzliksizlik tenglamasi
Suyuqlik vagazlarning mexanik harakatini o'rganganda ularni tutash 
muhit sifatida ko‘riladi. Jismlar mexanikasida «moddiy nuqta» tushun- 
chasi qanday ro‘l o‘ynagan bo‘lsa gidrodinamikada «suyuqlik nuqtasi», 
«suyuqlik zarrachasi» tushunchalari shunday rol o'ynaydi. Suyuqlik 
nuqtasi deganda shunday kichik hajmdagi suyuqlikka aytiladiki, bu 
hajm ko‘rilayotgan masalaning masshtabiga nisbatan juda kichik bo'lishi 
kerak. Shu biian birga, bu hajmning ichidagi molekulalar soni uni 
tutash muhit deyishimizga yetarli bo‘lgan darajada katta bo'lishi kerak. 
Ya’ni, suyuqlik nuqtasi suyuqlikning shu darajada kichik elementiki, 
uni geometrik tomondan bir nuqta sifatida ko‘rish mumkin, shu boisdan 
uning koordinatalari bor — x, y, z, fizik tomondan esa bu elementning 
ichida molekulalarning soni juda katta bo'lishi kerak.
Gapimizga illyustatsiya keltiraylik. Normal sharoitda havoning 
hajmida 2.7-10
19
ta molekula bor. Agar tomonlari 0,1 mm bo‘lgan hajmni 
olinsa (uni albatta, nuqta deb ko‘rish mumkin!) uning ichida 27-1013 a 
molekula boiadi. Suyuqliklarda bir kub santimctrning ichida yanada 
ko'proq molekulalar boMadi -IQ1’2, yana tomonlari 0,1 mm bo‘lgan hajm 
qaralsa uning ichida ~I
0 16
ta molekulalar bo‘iadi.
Uzliksiz muhit haqida gap ketar ekan uning zichligi bor — p(x,y,z,f). 
Harakat haqida gapirilganda suyuqlik tezligini kiritish kerak — \(x,y,z.f).
Bu tezlik suyuqlikning x,y,z koordinatali nuqtasidan t vaqt 
momentida o‘tayotgan suyuqlik zarrachasining tezligidir. Vaqt o‘tishi 
bilan bu zarracha boshqa nuqtaga oqib ketadi, lekin ixtiyoriy boshqa 
vaqt momentida ham v(.v, y. z, О  tezlik yana o‘sha x,y,z nuqtaga 
boshqa f  vaqt momentida yetib kelgan suyuqlik zarrachasining tezligini 
bildiradi.
Bu kattaliklar sistemasiga suyuqlik (gaz)ning bosimini ham kiritish 
kerak, chunki muhit ichidagi bosim har xil nuqtalarda har xil bo‘lsa 
bosim yuqori nuqtadan bosim past nuqtaga suyuqlik oqimi paydo 
bo'ladi. Demak, suyuqlikning mexanik harakatini o‘rganish uchun 
unga taalluqli bo‘lgan beshta kattalik uchun — zichlik 
p, bosim p va
250

---

tezlik v — tenglamalar topish kerak ekan. Shularning biri 
tenglamasidir. U quyidagicha keltirib chiqariladi.
uzliksizlik
Ixtiyoriy bir hajm V ni olamiz. Zichlikning ta’rifi bo‘yicha
\pdV
integral Fhajm ichidagi modda miqdorini beradi. Shunga ko‘ra,
Э 
t
jpdV
(
8
.
1
)
shu hajm ichidagi modda miqdorining o‘zgarish tezligini beradi.
Hajm ichidagi suyuqlik miqdori suyuqlik unga oqib kirsa yoki oqib 
chiqib ketsa o‘zgaradi. Oqim zichligini — birlik vaqt ichida birlik
sirtqan o'tgan modda miqdorini 
Demak,
quyidagicha ta’riflaylik: 
j 
= pv.
c/s- 
j
integral v hajmni o‘z ichiga olgan sirt s orqali 
suyuqlik oqimi tezligini ko‘rsatadi. Minus ishorasiga 
ahamiyat beraylik 
8
.
1
-rasmga qaralsa sirtga normal 
vektor va oqim vektori j =pv orasidagi burchak o‘tkir 
bo'lsa (ya’ni, suyuqlik hajmqan oqib chiqib ketayotgan 
bo‘lsa) (
8
.
2
) integral manfiy bo‘ladi, aks holda u musbat 
bo'ladi. Haqiqatan ham, dS va У orasidagi burchak 
o‘tmas bo‘lishi hajmga kirib kelayotgan suyuqlikga mos 
keladi. Shularni hisobga olib V hajm uchun modda 
balansi tenelamasini vozamiz:
1-rasm: 
Ixtiyoriy 
hajm, sirt 
element! va 
oqim tezligi.
в_ 
Э /:
(8.3)
- J dVp
= - ^f/s- j.
г 
i-
Tenglamaning o‘ng tomoniga Gauss teoremasi qo‘llanilsa
J
dV
Э/
+ div(pv)
0
(8.4)
tenglikka kelinadi. Bu tenglikning ixtiyoriy V hajm uchun baja- 
rilishi
dp
dt
+ div (p v ) = 0
(8.5)
251

---

bo‘lishi kerakiigiga olib keladi. Hosil bo‘lgan tenglamaning nomi — 
uzliksizlik tenglamasi.
Boshida aytilganidek, suyuqlik deganda ham suyuqliklar, ham gazlar 
tushuniladi. Suyuqliklar (gazlar emas) oddiy sharoitda siqilmaslik 
xossasiga ega. Ular uchun p =const deb qabul qilish mumkin. Bunday 
suyuqlik siqilmaydigan suyuqlik deyiladi. Keyin ko‘rsatamizki, zichlik- 
ning o‘zgarishi harakat tezligining tovush tezligiga nisbatining kvadratiga 
proporsional bo‘ladi, suyuqliklar uchun bu nisbat juda kichik sondir. 
Ya’ni, suyuqliklarni odatda siqilmaydigan muhit sifatida ko‘rish mum- 
kin. Gazlarda harakat tezligi tovush tezligiga yaqin va hatto undan 
yuqori ham bo'lishi mumkin, bunday harakatlarni o‘rgangandagina 
zichlikning konstanta emasligini hisobga olish kerak. Siqilmaydigan 
suyuqlik uchun uzliksizlik tenglamasi
Tajriba shuni ko‘rsatadiki, suyuqlik elementi unga qo‘yilgan hatto 
eng kichik kuch (bosim) ostida ham harakat qila boshlaydi. Suyuqlikning 
ichidagi ixtiyoriy sirt olinsa bosim unga perpendikular yo‘nalgan bo‘ladi. 
Bulardan xulosa shuki, muvozanatda turgan suyuqlikdagi ixtiyoriy sirt 
elementiga ikki tomondan ta’sir qilqyotgan bosimlar muvozantda turibdi 
(8.2-a rasmga qarang). Bunday xossa bosimning izotropligi deyiladi.
Bosim — sirt birligiga perpendikular yo‘nalishda ta’sir qilayotgan 
kuch. Suyuqlik ichida kichik parallelogramm olaylik (8.2-b rasmga 
qarang) (bu parallelogramm «suyuqlik nuqtasini» birinchi yaqinlashuvda 
ifodalasin). Shu parallelogrammning x va x+Ax sirtlari orasidagi tashqi 
bosimning o‘zgarishini hisoblaylik:
div v = 
0
(
8
.
6
)
ko‘rinishni oladi.