|
8
.
22
)
— i r н---
vq> =
const.
2
n
P
(8.23)
V —
v 2 + — + q> = 0
?
n
(8.24)
(8.25)
256
ko‘rinishga keltirib olinadi. Bu yerda birinchi had — suyuqlik zarra-
chasining kinetik energiya zichligi, ikkinchi had — tashqi gravitatsion
maydondagi potensial energiya zichligi va uchinchi had — termo-
dinamika qonunlari bo‘yicha ichki energiya zichligidir.
Demak, Bernulli teoremasi energiyaning saqlanish qonunining bir
ko'rinishi ekan.
8.5. Tezlik sirkulatsiyasi
Tezlikdan yopiq kontur bo‘yicha olingan integral
Sirkulatsiya = ^ v ■
dl
^
2
^
tezlikning shu kontur bo'yicha sirkulatsiyasi deyiladi. Stoks teoremasi
bo;yicha
cj) v •
dl = Jf/S • rot v,
l
s
bunda S — yopiq kontur L bilan chegaralangan sirt. Tezlikning rotori
Eyler tenglamasining (8.21) ko'rinishida ham paydo bo'lgan edi. Shu
rotomi alohida belgilab olaylik:
£2 = rot v.
(8.28)
Bu yangi kattalikning fizik ma’nosini tushunish maqsadida biror o‘q
atrolida
со
burchak tezligi bilan aylanayotgan qattiq jismni ko'raylik.
Ushbu jismning ixtiyoriy r nuqtasining chiziqli va burchak tezliklari
quyidagicha bog‘langan edi:
v =
[flr],
(8.29)
Tezlikning rotorini topaylik:
rot v =
2a).
(8.30)
Demak, £3 ning noldan farqliligi shu zarrachaning ma’lum bir o‘q
atrofida ~ Q burchak tezlik bilan aylanayotganini anglatadi. Darha-
qiqat, (8.27) formula shu talqinga mosdir.
Q. odatda, buramalilik deyiladi1.
* Ruschasi — завихренность.
17 — N azariy m ex anika
2 5 7
Eyler tenglamasini faqat sirkulatsiya va tezliklar tilida ham yozib
olish mumkin. Buning uchun (8.15) ikki tomonining rotorini hisoblaylik.
Natija:
^
+ [V[v£2]j = 0.
(8.31)
Bu tenglamaga quyidagilarni qo'shilsa to‘liq sistema olinadi:
V-v = 0, £2 = IV
v
J.
(8.32)
Olingan tenglamalar sistemasiga bosim va zichliklar kirmadi.
Bu tenglamalar ideal suyuqlikning harakatini o'rganish masalasini
to‘liq yechadi — bizga tezlik v ma’lum bo'lsa (8.31) tenglamadan Q ni
topamiz, topilgan
£2
asosida (8.32) tenglamalardan v ni topiladi va
h.k. (8.32) tenglamalarni yechish yo'li ma’lum, magnitostatikani eslaylik:
V • В = 0, [VB] = 4
ti
J/
c
.
Magnitostatikada berilgan tok bo‘yicha magnit maydonni topish
masalasi gidrodinamikada berilgan buramalik orqali tezlikni topish
masalasi bilan bir xil ekan.
(8.28) ta'rifdan ko‘rinib turibdiki hamma vaqt
V ■
Q = ().
(8.33)
Demak,
£2
ning kuch chiziqlari hech qayerda boshlanmas va hech
qayerda tugamas ekan.
Faraz qilaylik, biror vaqt momentida fazoning hamma nuq-
talarida Q = 0 bo‘lsin. Bu degani, Д£
2
/й/ =0 ham bo'lishi kerak.
Keyingi vaqt momenti t + At ga o'tilsa (8.31) bo'yicha ba’ri bir
£2-0 va ?)Q/c)t= 0 ekan. Bu degani, agar vaqtning boshida buramalik
nolga teng bo'lsa u hech qanday yoll bilan paydo bo'ia olmaydi
(ideal suyuqlik uchun). Bu holda suyuqlik tezliklarining mavdonini
topish uchun
V v =
0
. [Vv] =
0
(8.34)
tenglamalar sistemasini qo'llash yetarlidir. Bu holni zaryadlar va toklar
bo‘lmagan holdagi elektrostatika ( V • E = 0, [VE] 0 ) va magnitostatika
( V • В = 0. [VB] =- 0 ) tenglamalari bilan solishtirish mumkin.
Fazoning hamma nuqtasida rotv — 0 boigan oqim potensial (yoki,
buramasiz) oqim deyiladi. Potensial oqim uchun tezlik sirkulatsiyasi
aynan nolga teng:
(j) v •
dl
= Jc /S ■
ro t v = 0.
(8.35)
i
Suyuqlik ichida bir yopiq kontur olaylik. Konturining ustidagi
suyuqlik nuqtalari vaqt o‘tishi bilan siljib boradi, ular bilan birga
kontur ham harakatda bo‘ladi.
Shu kontur bo‘yicha olingan sirkulatsiyaning o'zgarmasdan qolishi
isbot qilylik. Sirkulatsiyadan vaqt bo'yicha hosila oliganda nafaqat
kontur ustidagi suyuqlik zarrachalarining tezliklarining, balki harakatdagi
kontur nuqtalarining ham vaqt bo'yicha o‘zgarishini hisobga olish
kerak:
d\
element shu elementning bosh va oxirgi nuqtalarining radius-
vektorlarining ayirmasidir, undan vaqt bo‘yicha hosila tezlikning o‘zidir.
Ikkinchi had to‘liq differensialdan olingan integral ko‘rinishiga keltiri-
ladi, kontur yopiqligini hisobga olinsa u nolga tengdir:
Eyler tenglamasini hisobga olib birinchi hadni ham to‘liq differensialdan
yopiq kontur bo‘yicha integral ko‘rinishiga keltirib olamiz (yana bir
eslataylik, p = const holni ko‘ryapmiz), va, demak, u ham nolga
teng bo‘ladi:
(8.36)
(8.37)
(8.38)
Demak,
(8.39)
yoki
(j) v • ^1 = const
(8.40)
L
ekan. Bu natija sirkulatsiyaning saqlanish qonuni deyiladi.
2 5 9
Oqimning potensiallik sharti
rotv =
0
(8.4 i )
ni quyidagicha yechish mumkin:
v = grad
q>.
(8.42)
Kiritilgan kattalik
tezlik potensiali deyiladi. Agar (8.21) tenglamaga
bu ta’rif kiritilsa tenglama
/
.
Un 7 Г
П
0
(8.43)
Download Do'stlaringiz bilan baham: |
