Nazariy fizika kursi

= v (r ( /) 
+ 
Al\(r(t)),1 + At)~
v(r(/),/) =
Natijada quyidagi Eyler tenglamasigix kelamiz:
Эу 
Vp
-- h(v-V)v = — —
.
Э 
t 
p
Eyler tenglamasi o'zining sodda ko'rinishiga qaramasdan ko‘pgina 
murakkab fizikaviy jarayonlarni ifodalaydi.
Agar suyuqlik tashqi gravitatsion maydonda bo
1
Isa f = gp deb olish 
kerak:
At.
(8-14)
(8.15)
Э
у
V/;
+ (v-V)v = ---+ g.
dt 
p
(8.16)
Bosim gradiyentining oldidagi minus ishorasi suyuqlik bosim vuqori 
nuqtadan bosim kichikroq nuqta tomonga harakat qiiishini bildiradi.
8.3. Gidrostatika
Eyler tenglamasini o'rganishni eng sodda ho! — suyuqlik gravi­
tatsion maydonda qimirlamay turgan holdan boshlaylik.
Bu holda tezlik nolga teng va Eyler tenglamasi keskin sodda- 
iashadi:
-Vp + pg = 
0
. 
(8.17)
Koordinat o‘qlarini 8.3-rasmdagidek chizilsa, bosim uchun 
.
y
va >’ 
yo'nalishlarda
i ,\$i
h
' 1 / ■
(
X
8.3-rasm.
Statik ho! O’ o‘qi tekislikka perpendikular).
254

---

дх 
By
tenglamalar olinadi. Ya’ni, bu yo‘nalishlarda bosim o‘zgarmas bo‘ladi: 
p 
= const, г yo'nalishda esa
~ + Pg =
0 
(8.18)
ekanligini topamiz (vektorgning komponentalari: g = {
0
,
0
,-g}). Integ- 
raliash doimiysini p deb belgilasak
p(-) = Po ~ Pg- 
(8-19)
yechim topiJadi. Demak, 
z
balandiikka ko‘tarilganida suyuqlik (gaz) 
bosimi 
pgz
qiymatga kamayar ekan. Boshqacha aytganda, 
p 
+ 
pgz 
kombinatsiya bu hoi uchun Eyler tenglamasining harakat integrali 
ekan.
Bu mulohazalarda balandlik o‘zgarganda ham zichlik p o‘zgar- 
masdan qoladi deb oldik. Haqiqatda, ayniqsa gazlarni olganda, bu 
faraz to‘g‘ri emas, gazning holat tenglamasidan uning bosimi pasaysa 
(temperaturasi o‘zgarmaganda) zichligi ham kamayishi kelib chiqadi. 
Ammo bu farq gazlarning yetarli darajadagi katta massivlari uchun- 
gina sezilarli bo‘lgani uchun vuqoridagi formula balandliklar katta 
bo‘lmaganda yaxshi aniqlikda ishlaydigan formula deb hisoblanishi
mumkin.
8.4. Bernulli qonuni
Eyler tenglamasidagi 
(v V)v 
hadni vektor algebrasi yordamida 
maqsadga muvofiq bo'lgan ko‘rinishga keltiraylik:
( v V ) v = | v « 2 - [v ro tv ], 
(8.20)
Undan tashqari gravitatsion maydonni potensial orqali ifodalab olaylik: 
g=—A

Natijada Eyler tenglamasi quyidagi ko‘rinishni oladi:
3v r 
n 
1 v, i 
V»
- - - [ v rot v] = - - V t r -----
Vcp.
(8.21)
Э 
t
2 
p
v 
7
Har bir suyuqlik nuqtasi o‘zining oqim chizig‘iga ega, bu — shu 
suyuqlik zarrasining trayektoriyasidir. Har bir suyuqlik zarrasining tezligi

---

oqim chizig‘ining mos kelgan nuqtasida urinma bo'yicha yo'nalgan 
bo‘ladi. Tezlik vektori vektor maydonni hosil qiladi (magnitostatik va 
elektrostatik maydonlarni eslab ko‘ring).
Statsionar oqimni ko‘ray!ik. Statsionar oqim shunday oqimki, unda 
tezliklar vaqtga bog‘liq bo‘lmaydi, faqat koordinatlarga: v = 
v(*,>>,z). 
Ya’ni, oqim chiziqlarining hech qaysisi vaqt o‘tishi bilan o'zgarmaydi. 
Ma'lum bir suyuqlik zarrachasining ma’lum bir 
(x ,y,:) 
nuqtadagi tezligi 
v(x,y,z) 
bo‘lsa shu nuqtaga boshqa vaqt momentida yetib kelgan 
boshqa zarrachaning tezligi ham huddi o‘sha bo‘ladi. Albatta, har bir 
suyuqlik zarrachasining tezligi vaqt o‘tishi bilan o‘zgarib boradi, ammo 
shu zarrachaning o‘rniga kelayotgan zarrachaning tezligi ham huddi 
shu tartibda o‘zgaradi.
Yana suyuqlikni siqilmaydigan deb olamiz: p =const (8.21) rii chap 
tomondan v ga skalar ravishda ko‘paytiraylik. Natijada
tenglama hosil boMadi. Qavs ichidagi kattalik statsionar oqim uchun 
Eyler tenglamasining birinchi integralidir.
Bu tenglamadagi v • V operator tezlik v yo'nalishi bo‘yicha olingan 
hosila operatoridir, demak, oqim chiziqlari ustid a qavs ichidagi kattalik 
o'zgarmas ekan:
Umuman, ushbu const har bir oqim chizig‘i uchun o‘z qiymatiga 
ega. Agar rot v = 0 boiganda edi (8.21) tenglamadan
munosabatga kelgan bo‘lar edik, bu esa yana (8.23) natijani berar edi, 
ammo, bu holda yuqoridagi const hamma chiziqlar uchun bir xil 
qiymatga ega bo‘lgan bo‘lar edi.
(8.23) munosabat Bernulli teoremasi deyiladi. Uning ma’nosi sodda. 
Zichliknmg o‘zgarmasligini hisobga olib uni
(