0
;
b)x + co^x =
0
,
со" = k/m;
2
ml
c)
* - ^ = L = = - ^ ;
d)x + e 4 e x-
1
) =
0
.
V I-Л'2
dx
5. a)ty = fl -q2 XU\
b)
i ' j
(
I l] ,
1 - 2
6. a)
L - L + — \^qt + -t
J; L - - 4 -b)
=
7 tV n L = 2^r + q >'
279
c")
L '= — 2yx + —-(xv)-2xy — — (xv): L = 2xx = —2\y:
}
'
с1Г ' ’
'
d C ' ’
d)
d
dt
( 1
xt
о
v -
/
;
L = - x"\
L '= L +
—
(tpcost); L =
2
dt
ш
/
у
W
f) L ~ L + —
dt
1
2
1
I Г
maxt + — ma
r ;
L = -max.
6
1
d f__ ty .
Э/
7.
ekanligini hisobga olib
^ = ^ + f L ЭГ _ <)L |
Э2/ | Э2/
33Э<г/
Э
<7
3(7“
3- £ ^ L + ^ lL ч
dt aq
dt
3
q
dq2
dqdt
formulalarni keltirib chiqariladi. Bu yerdan esa
с/ 3Z/
3Z/
с/ 3L
3L
dt
Э
q
dq
dt dq dq
kelib chiqadi.
=
0
8
.
Lagranj funksiyasida paydo boMadigan qo'shim cha had vaqt b o‘yicha
to ‘ liq hosiia ko'rinishiga egadir:
m ,
4i
m\"
I
1
cL
= ~~(v + V) = —— + ш| V r •
V
9.
dx
qchX + qchX .
dq
dt
qshX
+ gchA
dr
-I
\ll~q
. 2
dqchX+dtqchX
d r ^ l
- i f
qchX+qchX
10.
a) L =
+ y ’ )- U (x .,y )= 2 R 2
i ’ M - ,
b) L
if .
1
„ .
j
W1 (Об ^
+в~ + 2 ( р в + ~ ~ ~
280
с) L = ~
1 1
.
4
^ У
1
+
2
-
\
1
j
)
+ -%11
2
•
2
a
2
(w, COS V + ffj2 sin 2
mi 8a sin 9-
12.
L =
Щ +т2 „2.-Л
.
m2
z.
2.:2
a2
+ 2 b2
“ Фг)"
2
" 2
-(wj +W
2
)^a(l -cos^i )-m2gb(] -cos
/«!+/?!,
,2
rn
2
( 2 -2
x2 + ~ ^ 1 2ф2 + 21хф
cos
-
m2gl (1 -
cos
(p).
2
2
14. a) m nuqtaning koordinatlari:
x = a cos
yt
+ / sin
cp, у
= a sin
yt
-1 cos
(p.
Lagranj funksiyasi (vaqtning funksiaysi va vaqt bo‘yicha to‘liq hosila
tashlab yuborilgandan keyin):
L = ~~
sin
(ср- y t)- mgl (l
-cosip).
b)
m
nuqtaning koordinatlari:
x
=
I
sin
= «sin
yi-]cosq>.
Lagranj funksiyasi (t'aqat vaqtning funksiaysi va vaqt bo‘yicha to‘liq
hosila tashlab yuborilgandan keyin):
L =
ф2 + т а I у2
cos
yt cos (p - mg'
(
1 - cos
I s!
L
=
—L r r н— -г-, — кг,
Гт; m,r, =-кг,, «ьг, -
- к г,.
2
2
'
"
Ikkala harakat tenglamasi qo‘shi!sa >rurx+m2f2 = -£(ii + r2) = 0, yoki
r, = - r, ekanligi topiladi.
Demak, haqiqatda musiaqil harakat tenglamasi bitta:
= krt
281
2-bobga oid masalalarning javoblari va yechimlari
ml
2
a) E = -- ф + — в'+фв —31 cos(p; b)E = ---
1
---;
2
mx2 kx2
2
2
c)
E
= — = +
d )E = x1
+(«л -1)
\\ — x2
3
2.
a) Saqlanuvchi kattaliklar: Px,P Mz. Sababi: (x,y) tekisligida sistemani
xohlagan nuqtaga bir butun sifatida ko‘chirish mumkin. Undan tashqari,
sistemani z ° ‘qi atrofida ixtiyoriy burchakka burganida ham uning holati
o‘zgarmaydi;
b) PZ,M Z\
c) M.\
d) Py.
dL
, V
1
.P j= —^-,E'= У P;Qj-L ta’riflarni kiritaylik. Pt va
e
’ ~ yangi
Э<
2
,
4—i
'lf;
,
Э/-
impuls va energiya. Bu holda Ц ~ P,
va E' = E -pj — bo‘ladi, p, va
,■
- M l h Л L
f — eski impuls va energiya. Bunda ч, -
dan foydalandik.
4 ^ = (
~ d
~+ [ F r ] j B ’ F = — [vB ].
i/IVI
Ikkinchi tomondan, — = m[rv] = [rF], Demak, / = 0.
dt
3-bobga oid masalalarning javoblari va yechimlari
1. a) E = 9; x12 =
±1/3,
harakat infinit: x > jc,, x < x2\
b) E =
1
, x, =
2,
harakat infinit
x<2\
c)
£ = -1/2,
harakat finit:
n/3> x<2n/3;
d) E = 5,
= In5, harakat infinit: xe) E =
1
,x, - e, harakat infinit: x < f) E = 0; to'xtash nuqtasi yo‘q, harakat infinit: -°o < * < oo;
282
g) £ = 5/2; to'htash nuqtasi jc, = 2/5; harakat infinit:
x>2/5:
h)
E
= 4; harakat fmit: -2 <
x
<
2;
Un
k) Harakat finit: ~Tarcc\h~ *
1
^
— arcch
2
-a)
x(t) = y jl+ 4 r
;
b) *(/) = —
2
In
(1
— r/
2
);
c) jc(/) = l + sin?;
d) * ( 0 = '
1
±Drr
-л(
0
).
Mahrajdagi ishora boshlang’ich
tezlikning ishorasiga teskari bo'ladi.
3. a)
а
2 E
1
+ ,
1
+
ma~
b)
4
mE
16 m~E
M 2
M L
c) E~ >] +-- shart bajarilganda harakat fmit: r, < r < r-,;
m
r?=E
M 1
1
-M-
2
г
r2 = t
! + ■
1 +
4. a)
I
( - 1
)d
-M
1
M
2
Vl-A
/ 2
In
r
\r2
\-M
2
b)
Л/
r arc tan
+ ЛГ
r - 2 ( l + M 2)
2
л/
1
+ М
2
^
2£>2
+ r - (l + M 2)
5. Birinchi munosabat M ning ta’rifidan darhol kelib chiqadi. Ikkinchi
munosabatni olganda
E = m\ 12-alr
ifodani qo'llash kerak.
283
6
. Awalgi misolning birinchi munosabatidan A vektoming orbita tekis-
ligida yotishi kelib chiqadi.
7 Statik muvozanat nuqtasi uchun U'ff (r0) = 0 bo'lishi kerak. Bu
B —M 2I (2m)
r0 - 2---------ni beradi, buning uchun esa M~ <
2mB
bo'lishi kerak.
a
Muvozanat barqaror bo'lishi uchun esa LQ (r0)>
0
bo'lishi kerak. Bu
p - M 2l(2m)
/0 > 3-------- bo'lishi kerakligini beradi. Demak, muvozanat nuqtasi
a
barqaror bo'lmas ekan.
8
. Harakat finit bo'lishi uchun Ue(j (r) minimumga ega bo'lishi kerak:
k
^A ~
a) Bu holda minimum sharti--- = / (.v) = ,v(l + x)e~l , x = кг0 ko'ri-
am
nishga ega. Bu tenglama yechimga ega bo'lishi uchun uning chap tomoni
o'ng tomonidagi
M 2 <2m/5
ning maksimumidan kichik bo'lishi kerak.
f (x) funksiya x= 1.618 nuqtada 0,84 ga teng maksimumga ega. Demak,
k
M
2
--- < 0.84 shart bajarilgandagina berilgan potensiaida finit. harakat bo'lishi
am
mumkin,
К2 M
2
-
b) Effektiv potensial uchun minimum sharti — :— = x4e~x ,x =
KrQ.
2 mV
Finit harakat sharti:
аГ
%mV
M < — —
.
Гу c
9. Harakat tenglamasining Dekart sistemasidagi ko'rinishi:
f
mr -
-
-
-
-
~a —г.
Harakat
bir
tekislikda ro'y beradi. T englam aning o'ng tom onini
qiub
sistemasma
o'lkazamiz:
284
dx _ a
cos
(p dy _ a simp
dt
m r2
dt
m r2
d
M
— - ■
— ~ ni (3.23) ga qarang) hisobga olib bu tenglamalarni
at
mr~
d x
a
d y
a .
= -
COS (D,
= -
S ine )
d (p
M
d ip
M
ko‘rinishga keltiramiz. Demak,
a .
. a
x = ---- SJnfp + C'j,
y
= — COSljo +
c2.
M
M
Endi x va у larning o‘rniga qutb koordinatlariga o‘tiladi:
x
=
r c o s c p ,
у =
rsin
(p.
Natijada oxirgi tenglamalar
a .
. .
.
a
rcos(p-
npsin (p = --- sin
q , rsm (p + r(p cos q> = — cos
M
M
ko‘rinishni oladi. Ularning birinchisini -sin
ko‘paytirib qo'shilsa
a
rep = --- c, sin (p + c9 cos
M
ga kelinadi. Yana bir bor (3.23) formulani qo‘llanib trayektoriya formulasi
topiladi:
1
am c,m .
c7m
- = — ^
1
— sin<® + —— cos
(p.
r
M 2
M
M
Bu — ellips tenglamasi.
11. Trayektoriya aylana bo'lishi uchun rQ effektiv potensial
^Lit = u +--
2
п ^п8
minimumi bo'lishi kerak:
2
/nr
З
Д
=
0
d2U'ff(ro ). 0
dr
'
dr
2
Birinchi shartdan r
0"“2
= nam/M2, ikkinchi shartdan esa
3?? > /г(п + 1), yoki,«<2
285
ekanligini topiladi.
12. Energiyaning saqlanish qonuni bo‘yicha
mi-2 a
R
R
Demak,
r =
J —
I
- 7 = = =
= —
\ i
--
1
2a
J П
Г
2 V 2 a
ш
/?3
0
Vr R
13. Zarrachaning harakat miqdori momenti M = mvp, energiyasi
E = mv2/2 , bunda m = т хтг1{тх + m)2, minimal masofa
(Vmm) = E
shartimad topiladi. Demak,
n
„ 2
n-г
2 a
*/ш/г
P
hnin
1
~
mv~
Bu tenglamaning faqat
n
= i ,2,4 hollardagina sodda yechimi bor. Masalan,
\2
i >
2 a
и =
2
, rm;„ =Jp- + --
7
•
mv
14. Zarrachalar orasidagi kuch — itarish kuchidir: —— = ■
,1+1
■
dU
n a
dr
r"
Download
Do'stlaringiz bilan baham: 
