Nazariy fizika kursi

8.10. Tovush
271

---

v = v', 
Р = Р
0
+Р, p = p0+p',
(8.85)
deb yozib olish kerak, bunda 
v0=0
,p0,p0 ~ tezlik, bosim va zichlikning 
qo‘zg‘olmasdan turgan suyuqlikka mos keluvchi o'zgarmas qiymatlari,
v*, p va p lar esa ularuing g‘alayonlangan o‘zgaruvchan qismlariga 
mos keladi. Bundan keyin kichik sonlarning shtrixlarini tashlab yubo- 
ramiz. Shart bo‘yicha — p « p0. Kichik tebranishlarga kichik 
tezliklar mos kelishi sababidan Eyler tenglamasida (vV)v hadni ikkinchi 
tartibli kichik son sifatida tashlab yuboramiz. (Tovush tarqalishi 
masalasini Eyler tenglamasi asosida ko‘riladi, tovushning dissipatsiyasi 
masalasini ko‘rish uchungina NS tenglamasi kerak bo‘ladi.) Shu 
yaqinlikda uzliksizlik tenglamasi quyidagi ko‘rinishni oladi:
Ikkinchi hadda tashlab yuborilgan qism pv ikkinchi tartibli kichik sondir. 
Eyler tenglamasida ham birinchi tartibli hadlarni qoldirilsa u quyidagi 
ko‘rinishga keladi:
Tenglamalarning soni to‘rtta, ozgaruvchilar soni beshta — p./?,v. 
Suyuqlikning holat tenglamasi orqali p va p larni bog'lashimiz qoldi. 
Suyuqlik (gaz)ni termodinamik ma’noda ideal deb qaraymiz, tovush 
tarqalish jarayonini esa adiabatik deb qaraymiz. Shu sababdan bosim 
va zichlikning o‘zgarishlari uchun
deb yozib olish mumkin. Endi tenglamalarining soni noma’lumlar 
soniga teng bo‘ldi. Oxirgi tenglamadagi s indeks jarayonining adiabatik 
ekanligini ko‘rsatadi, 
0
indeks esa hosila muvozanat holati p 
= 0
da 
hisoblanishi kerakligini bildiradi.
Olingan tenglamalar sistemasini yana bir marta yozib chiqaylik:
(
8
.
86
)
(
8
.
88
)
(8.89)
272

---

Bu tenglamalarning birinchisidan vaqt bo‘yicha hosila olib, uning 
ikkinchi hadiga tenglamalarning ikkinchi va uchinchisi qo'yilsa
Bosim g‘alayoni uchun ham huddi shunday tenglamaga kelinadi:
(8.90) (va 8.93) ko'rinishdagi tenglama matematik fizikada to‘lqin 
tenglamasi deyiladi (4.170 tenglama biian solishtiring, u yerdagi 
tenglama bir o‘lchamli to‘lqin tenglamasi. bu bobda uch o‘lchamli 
tenglamaga o‘tdik).
Masala 8.10.1 v = grad^p kiritib
 uchun ham to'lqin tenglamasi kelib 
chiqishi ko‘rsating.
Bu lenglamaning mag'zini chaqish uchun uning eng sodda holiga o‘taylik
- bir o'lchamli holga. Ya’ni, to‘Iqinning hamma kattaliklari faqat bitta 
koordinatga bog' 
1
iq bo'lsin. masalan, .v koordinatga. Bunday to'lqinlar yassi 
to'lqin deyiladi. Bu holda tenglama quyidagi ko'rinishga cga bo'Iadi (p va p 
laming o'rniga bitta (p funksiyasi olaylik va c~ ni qulayroq o'ringa joylash- 
tiraylik):
ko'rim.shga ega, bunda f  va f  funksiyalar ixtiyoriy (ikki marta uzliksiz 
<.‘i iTe rcnsi all arm vc h i) funksiyalardir.
(8.90)
tenglamaga hosil bo'Iadi, bunda
с
(8.91)
va
л 
л 
( &
02 
32
1
Ap = div grad p = ^
+ 
- - 7
+ 
—-7
p ’
cb;“ 
dv" 
oz~
\
/
(8.92)
(8.93)
1
d2(p
(8.94)
Tckshirish qiyin emaski bu lenglamaning yechimi

=-• ./|(Л 
-ct) + f 2 (x + cl)
(8.95)
IS - N azariy rnexanika
273

---

8.10.1-misol. Shu tasdiqni tekshiring.
Yassi to'lqindagi hamma kattaliklar — 
p,p,\ —
koordinata 
x
va vaqt 
t 
ga mana shu ikkita kom binatsiva .v — 
ct
va .v + 
ct
orqaligina bog‘ liq 
bo'ladi.
Ycchimlarning birini olaylik va aniqlik uchun zichlik haqida gapiraylik
— 
p ~f\(x~ct).
K o‘rinib turibdiki, zichlik koordinata va vaqtning
.y 
— 
ct 
~
const, yoki 
.г =
const 
4-
ct
(8.96)
kombinatsiyasida o‘zgarmas qiymatga ega bo'ladi. Zichlik (va boshqa kat- 
taliklar)ning shu qiymati / vaqt o'tgandan keyin .v o'qi bo'yicha 
ct
masofaga 
ko'chadi. Bu degani, zichlik g'alayonlanishi muhitda 
с
tezlik bilan ko'chadi, 
shu sababdan 
с
tovush tezligi deyiladi.
Ikkinchi yechimga kelsak — 
f 2(x
+ 
ct)
— u л o'qining manfiy yo‘nalisiii 
bo'yicha с tezlik bilan tarqalavotgan to'lqinga mos keladi.
Tovush tezligiga qaytaylik. G azni ideal gaz deb qaralsa lining holat 
tenglamasi
RT
P =
— P 
(8.97)
p
bo'ladi, bunda 
R
= 8.3l4J/grad — universal gaz doimiysi. 
T —
absolut 
temperatura, 
p —
gazning molar massasi. 8.91 formuladagi hosilani tcrmo- 
dinamika qoidalari bo'yicha
p_ 
Эр
7
(8.98)
ko'rinishda yozib olinadi, bunda 
y=c fcv.
Bu biz.ga (8.97) formulani qo'IIash- 
ga imkon beradi:
RT
f y
<8-99»
H avo u c h u n to v u sh t e z lig in i to p a y lik . H av o u c h u n у = 1 .4 , 
и =29-10 ?kg.Temperatura 
T 
—273° К bo'lganda с --33lin/sek. temperatura 
'Г
=300=A! bo'lganda esa с =347m/sek bo'ladi.
G azning molekular massasi oshsa undagi tovush tezligi kamavadi. 
Masalan, argon uchun ,u =40-10 ’kg, tovush tezligi 
T
=273° bo'lganda
С = 288 —— 
sek
Agar (8.9D ga ahamiyat bcrsak siqilmaydigan suyuqlik uchun 
с —
=-= 
ekanligini ko'rarmz. Albatta, absolut ravishda siqilmaydigan suyuqlik yo'q, 
real suyuqliklarning ozgina bo'lsa ham siqiiuvchaniigi bor. Shuning uchun

---

ularda ham tovush tarqalishi ro‘y beraveradi, tovush tezligi, albatta, gazlarga 
nisbatan katta bo'ladi.
Suyuqlik tezligi tovush tezligiga yaqin bo'Iganda birinchi qarashda 
qiziq tuyulgan hodisalar ham ro‘y beradi. Bunga misol qilib quvur 
bo'yicha bir oichamli statsionar oqimni ko'raylik (8.7-rasmga qarang, 
oqim x-o‘qi bo'vicha ro'v berayapti). Oqim tezligi ixtiyoriy bo‘lsin. 
Oqimni bir jinsli deb qaraymiz, buning uchun, albatta, quvur kesimi 
juda katta boMmasligi va u o'zining o‘qi bo'vicha tez o'zgarmasligi 
kerak.
Shu shartlar bajarilganida masalaning bir o'lchamligi uning stat- 
sionarligidan kelib chiqadi - ixtiyoriy biror x nuqtaga perpendikular 
bo'lgau tekislikning hamma nuqtalarida tezlik va boshqa xarakteristikalar 
vaqtga bogiiq emas, demak, ular laqatgiua x koordinataning funksiya- 
laridir. Quvur kesimi sirtining qiymatini A harfi bilan belgilaymiz. 
Quvurning kesimi ,v o'qi bo'yicha o'zgarsin. Oqim zichligi j =pv 
bo'lsa bir sekundda quvurning ixtiyoriy A kesimidan oqib o‘tadigan 
suyuqlik miqdori
bo'lishi kerak. Bu — uzliksizlik tenglamasining ko'rilayotgan holga 
mos keluvchi formasidir. Quvurning uzunligini uning diametriga nisbatan 
juda katta deb qaraladi. Statsionar oqim uchun bir o'lchamli Eyler 
tenglamasini olarniz: