Nazariy fizika kursi

8.9.2. Qiyalik bo‘yicha oqim
Eng qiziq masalalardan biri bo'lgan qiyalilik tekislik bo'yicha oqim 
masalasini ko‘rib chiqaylik. Bu masalani 
8
.
6
-rasm bo'yicha tasawur 
qilish qiyin emas: gorizontga a burchak bilan og‘gan tekis qiyalik 
ustida qalinligi d bo'lgan suyuqlik qatlami tortishish kuchi ta’sirida 
pastga oqib tushmoqda. Suyuqlikning ustida bosimi pQ bo‘lgan ochiq 
havodir (atmosfera).
Koordinat о ‘qlarming yo‘nalishi rasmda ko‘rsatilgan (v o'qi qiya 
tekislikning ustida yotibti). Masalaning mohiyati bo'yicha bosim faqat
268

---

8.6-rasm. Qiyali tekislik bo‘yicha oqim.
z koordinataga bog‘liq bo'lishi mumkin: p = p(z), tezlikning esa 
faqat x koordinatasi bor v = (u,
0
,
0
), va u ham bo‘lsa faqat z ning 
funksiyasidir: v = v(z) . Oqim statsionar bo'lgani uchun vaqt bo'yicha 
hosila tashlab yuboriladi. Undan tashqari
Э
v • V = и —
дх
ekanligini va tezlik x ga bog‘liq emasligini hisobga olinsa NS tengla- 
malari quyidagi ko‘rinishga keltiriladi:
v ^ - ^ + gsinor = 0, 
“ + g p c o s a = 0. 
(8-74)
dz' 
dz
Chegaraviy shartlarni aniqlaylik. z = 0 tekislikda v = 0 bo‘lishi kerak. 
Suyuqlikning ochiq sirtida (z = d) esa
i 
dv
<*.« = -p\:=d = ~Pn- о л, = n — = 0 
(8.75)
bo'lishi kerak. (8.74) tenglamalarning bu shartlarga bo‘ysunadigan 
yechimlari quyidagicha:
СГ 
(X
P
= 
P o + g p c o s a ( d - z ), 
v — — 
z(2d 
— z). 
(8.76)
Ko'rinib turibdiki, suyuqlik tezligining maksimal qiymatiga z = d 
nuqtada erishadi. Oqim zichligi (birlik vaqt ichida birlik sirt orqali 
oqib o‘tgan suyuqlik miqdori) j = pv formula orqali ifodalanar edi, 
shuni hisobga olib (y, z) tekisligida yotgan balandligi d va kengligi 
1 
ga teng sirtdan bir sekundda o‘tgan suyuqlik miqdorini
269

---

J
J
gp 
sin a
,3
--- — a
3v
(8.77)
о 
0
formuladan topish mumkin.
0
8.9.3. Quvur bo‘yicha oqim
Radiusi R ga teng bo'Igan silindrik quvur bo‘yicha oqimni olib 
ko'raylik. Quvurning uzunligi /bo‘lsin. x o ‘qini quvurning o‘qi bo‘yicha 
yo’naltiramiz. Bu holda suyuqlik tezligining komponentalari v = (v ,0,0) 
ko‘rinishga ega bo‘ladi. Albatta, v = v (y,z) bo‘lishi kerak — suyuqlik 
tezligi faqat quvurning ko‘ndalang kesim sirtidagina o‘zgarishi mumkin. 
Bundan xulosa —
Oqim statsionar ekanligini hisobga olinsa NS tenglamasidagi vaqt 
bo‘yicha hosila ham nolga aylanadi va natijada yana sodda holga 
kelinadi:
Bu tenglamaning у va z komponentalari
ko‘rinishga ega, demak, bosim p quvurning ko'ndalang kesim sirtida 
o'zgarmas ekan. Boshqacha aytganda — p ~ p(x) .
Ana endi (8.79) tenglamaning .v - komponentasiga kelaylik:
Tenglamaning o‘ng tomoni x ga, chap tomoni esa y, z larga bog‘liq 
emas. Hulosa — ikkala tomon ham o'zgarmas songa teng. Demak, 
quvur bo'yicha bosim gradiyenti o‘zgarmas son ekan, shunday ekan, 
uni quvurning ikkala uchidagi bosimlar farqi Ap orgali ifodalash 
mumkin:
(v ■
V)v = u — u( v,z) = 0.
V 
p-rjAv
= 0.
(8.78)
(8.80)
dp
_ A 
p 
dx 
1
270

---

(oqim tezligi x o‘qining musbat yo‘nalishi bo‘yicha yo‘nalgan, buning 
uchun bosim quvurning boshida uning oxiriga nisbatan yuqori bo‘lishi 
kerak — dp/dx < 0). Endi (8.80) tenglamaning o‘ng tomonini qutb 
koordinat sistemasida yozib olamiz:
o‘ng tomonda konstanta ekanligini hisobga olib tenglamani ikki marta 
integrallaymiz:
A
p i
, 
, 
v = - — r+a\nr + h. 
(8.82)
Tezlik quvurning hamma nuqtalarida chekli boMishi kerak bo'lgani 
uchun a = 0, quvurning (ichki) sirtida esa v(R )= 0. Natijaviy formula
Tezlik profili parabola ko‘rinishiga ega ekan.
Quvur bo'yicha 1 sekundda oqib o'tayotgan suyuqlik miqdori 
(xarajati)ni topaylik. Buning uchun oqim zichligi pv dan quvurning 
kesimi bo'yicha integral olamiz:
Suyuqlik xarajati quvur radiusining to‘rtinchi darajasiga proporsional 
ekan.
Siqiluvchan suyuqlik (gaziar) dinamikasiga misol sifatida tovushning 
paydo bo'lishi va tarqalishi masalasi ko'rib chiqatniz. Tovush deganda 
amplitudasi va, shunga ko'ra, tezligi kichik bo‘lgan tebranishlarning 
tarqalishi tushuniladi. Masalaning qo'yilishi quyidagicha: qo‘zg‘al- 
masdan turgan suyuqlik ichida kichik tezlikli g‘alayonlanish hosil 
qilamiz, buning uchun bir suyuqlik nuqtasini o‘z muvozanat holidan 
qo'zg‘atiladi. Mana shu nuqta atrofida bosim va zichliklar ham o‘z- 
garadi. Bosim va zichlikning g‘alayonlanishi ham kichik bo‘lsin. Mana 
shu g‘alayonlanishning tarqalishi masalasini ko‘raylik. Demak, tezlik, 
bosim va zichlik uchun
(8.81)
(8.83)
Q = 2n (dr r p v = 7Г--— R4.
{ 
W
(8.84)