|
§ 7. Uzluksiz tasodifiy miqdor taqsimoti
Tasodifiy miqdorlarning taqsimot qonunini har doim ham jadval yordamida
berish mumkin bо‘lavermaydi. Masalan, agar biz uzluksiz tasodifiy miqdor
haqida fikr yuritayotgan bо‘lsak, u holda uning barcha qiymatlarini sanab
chiqish mumkin emas. Shuning uchun, uni diskret tasodifiy miqdorni
tavsiflangandek ayrim qiymatlari ehtimolliklari bilan emas balki, mumkin
bо‘lgan qiymatlari ma’lum bir
,
intervalda yotuvchi, ya’ni
x
kо‘rinishdagi tengsizlikning ehtimolligi bilan tavsiflash lozim.
7.1. Taqsimot funksiyasi
Uzluksiz tasodifiy miqdor taqsimot qonunini yozish uchun,bundan keyin
tasodifiy miqdor
X
ning
x
dan kichik qiymatlarni qabul qilishi, ya’ni
x
Х
hodisaning ehtimolligi haqida sо‘z yuritamiz. Bu
x
X
P
ehtimollik
x
ning funksiyasi ekanligi ravshan, uni
x
F
bilan belgilaymiz:
x
X
P
x
F
(7.1)
x
F
funksiya
X
tasodifiy miqdorning taqsimot
qonuni
yoki
X
tasodifiy tasodifiy
miqdorning
taqsimot funksiyasi
deyiladi.
Taqsimot funksiyasi quyidagi xossalarga ega.
1. Taqsimot funksiyaning qiymatlari [0,1] kesmaga tegishli:
1
0
x
F
(7.2)
2.
F(x)
kamaymaydigan funksiya. Haqiqatdan,
x
1
2
uchun
,
2
1
1
2
x
Х
x
P
x
Х
P
x
Х
P
bundan,
0
2
1
1
2
x
X
x
P
x
F
x
F
yoki
2
1
x
F
x
F
3. Tasodifiy miqdorning
,
intervalda yotuvchi qiymatlarni qabul qilish
ehtimolligi taqsimot funksiyasining shu intervaldagi orttirmasiga teng.
F
F
Х
P
(7.3)
42
4. Uzluksiz tasodifiy miqdorning tayin bitta qiymat qabul qilish ehtimolligi
nolga teng, ya’ni
0
0
x
X
P
Demak, bu xossadan
Х
P
Х
P
Х
P
Х
P
5. Agar tasodifiy miqdorning mumkin bо‘lgan qiymatlari
,
intervalga
tegishli bо‘lsa, u holda,
а
х
da
0
x
F
;
х
da
1
x
F
.
Isboti:
а
х
1
bо‘lsin, u holda,
1
x
X
hodisa mumkin bо‘lmagan, demak
0
1
x
X
P
;
2
х
bо‘lsin, u holda
,
2
x
X
hodisa muqarrar, demak,
1
2
x
X
P
Natija.
Agar uzluksiz tasodifiy miqdorning mumkin bо‘lgan qiymatlari butun
O
x
son о‘qida joylashgan bо‘lsa, u holda,
0
lim
x
F
x
,
1
lim
x
F
x
.
Yuqoridagi xossalardan uzluksiz tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasining
grafigini quyidagicha tasvirlash mumkin.
3-chizma
1-misol.
X
tasodifiy miqdor bitta uzishda о‘qning nishonga tegishi bо‘lib,
о‘qning nishonga tegish ehtimolligi 0,3 ga teng. Uning taqsimot funksiyasini
tuzing.
Yechish.
X
ning mumkin bо‘lgan qiymatlari ikkita 0 va 1(diskret).Bunda,
0
0
Х
Р
,
7
,
0
3
,
0
1
1
0
Х
Р
,
1
1
Х
Р
.
Demak,
x
agar
x
agar
x
agar
x
F
1
,
1
1
0
7
,
0
0
,
0
)
(
43
4-chizma
2-misol.
6 ta detal solingan qutida 4 ta standartga mos detal bor. Tavakkaliga 3
ta detal olingan. Olingan detallar orasidagi standartga mos detallar sonidan
iborat tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini toping.
Yechish
:
Standartga mos detallar soni -
X
tasodifiy miqdorning taqsimot
qonunini tuzamiz. Buning uchun ehtimolning klassik ta’rifidan foydalanamiz:
n
m
А
Р
)
(
,
20
3
2
1
4
5
6
3
6
C
n
X
tasodifiy miqdor- olingan detallar orasida standartga mos detallar soni
quyidagi mumkin bо‘lgan qiymatlarga ega
:
3
,
2
,
1
3
2
1
x
x
х
.Bu
qiymatlarga mos ehtimolliklarni hisoblaymiz:
2
,
0
5
1
20
1
4
20
)
1
(
2
2
1
4
1
C
C
Х
P
р
6
,
0
5
3
20
12
20
2
6
20
)
2
(
1
2
2
4
2
C
C
Х
P
р
2
,
0
5
1
20
4
20
)
3
(
3
4
3
C
Х
P
р
Standartga mos detallar sonining taqsimot qonunini yozamiz
X
1
2
3
p
0,2
0,6
0,2
Endi taqsimot funksiyasini yozamiz:
Agar
:
1
x
bо‘lsa,
0
x
F
;
2
1
x
bо‘lsa,
2
,
0
x
F
;
3
2
x
bо‘lsa,
8
,
0
6
,
0
2
,
0
x
F
;
3
x
da esa, taqsimot
funksiyaning xossasidan
1
x
F
. Shunday qilib
,
3
,
1
,
3
2
,
8
,
0
,
2
1
,
2
,
0
1
,
0
)
(
х
agar
x
agar
x
agar
х
agar
x
F
44
3-misol.
X tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi quyidagicha berilgan
bо‘lsin:
2
,
1
2
1
,
3
1
3
1
1
,
0
x
agar
x
agar
x
x
agar
x
F
Sinov natijasida
X
miqdor (0,1) intervalda yotgan qiymatlarni qabul qilish
ehtimolligini toping.
Yechish
.(7.3)
ga asosan,
)
0
(
)
1
(
)
1
0
(
F
F
X
Р
.
Berilishiga kо‘ra (0,1) intervalda
3
1
3
1
x
x
F
,
Demak,
3
1
3
1
0
3
1
3
1
1
3
1
0
1
F
F
Shunday qilib,
3
1
1
0
Х
P
.
7.2 Taqsimotning zichlik funksiyasi
Endi taqsimot funksiyasi uzluksiz va differensiallanuvchi bо‘lgan
X
uzluksiz tasodifiy miqdorni tekshiramiz.
Taqsimotning
)
(
x
f
zichlik funksiyasi
yoki
differensial qonuni
deb,
taqsimot funksiyasidan olingan
)
(
)
(
x
F
x
f
hosilaga aytiladi.
Teorema.
X
uzluksiz tasodifiy miqdorning
,
integrvalga tegishli qiymat
qabul qilish ehtimolligi zichlik funksiyadan
dan
gacha olingan aniq
integralga teng.
dx
x
f
Х
P
)
(
(7.7)
Isbot.
F
F
Х
P
ekanligidan, Nyuton-Leybnits teoremasiga asosan
dx
x
f
dx
x
F
F
F
Zichlik funksiyasi quyidagi xossalarga ega:
1. Zichlikl funksiyasi manfiy emas, ya’ni
0
x
f
.
2.
1
dx
x
f
.
Xususan tasodifiy miqdorning barcha mumkin bо‘lgan qiymatlari (
)
oraliqqa tegishli bо‘lsa, u holda,
45
1
dx
x
f
4-misol
.
X
tasodifiy miqdorning zichlik
funksiyasi berilgan:
2
,
0
2
0
,
2
0
,
0
x
agar
x
agar
x
x
agar
x
f
Sinov natijasida
X
tasodifiy miqdor (1, 2) intervalga tegishli qiymat qabul qilish
ehtimolligini toping.
Yechish.
(7.7)
ga asosan,
2
1
2
1
75
,
0
25
,
0
1
4
1
4
4
4
2
2
1
x
dx
x
Х
P
.
)
(
x
f
zichlik funksiyasini bilgan holda
)
(
x
F
taqsimot funksiyasini quyidagi
formula bо‘yicha topish mumkin.
x
dx
x
f
x
F
(7.8)
5-misol
. Berilgan zichlik funksiyasi bо‘yicha taqsimot funksiyasini toping.
b
x
agar
b
x
a
agar
a
b
a
x
agar
x
f
,
0
,
1
,
0
(7.9)
Yechish.
1)
a
х
da
x
dx
x
f
x
F
0
)
(
)
(
;
2)
b
х
da
x
a
x
a
а
b
a
x
dx
а
b
dx
dx
x
f
x
F
1
0
.
3)Agar
b
х
bо‘lsa, u holda,
a
b
а
x
в
b
a
а
b
а
b
a
b
dx
odx
а
b
dx
odx
x
F
1 .
Shunday qilib,
b
x
agar
b
x
a
agar
a
b
a
x
a
x
agar
x
F
,
1
,
,
0
(7.10)
Do'stlaringiz bilan baham: |
