N djurayev, B. E. Eshmatov ehtimolliklar nazariyasi

 
 
 

---

31 
§ 
5.
 
Diskret tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari
 
Tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni shu tasodifiy miqdorni tо‘liq 
tavsiflaydi. Ammo, ba’zi hollarda tasodifiy miqdorni yig‘ma tasvirlaydigan 
sonlardan foydalanish qulay bо‘ladi. Bunday sonlar tasodifiy miqdorning 
sonli 
xarakteristikalari
deyiladi. Sonli xarakteristikalarga 
matematik kutilmasi
va 
dispersiya
kiradi. 
5.1
 
Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi
Ta’rif.
X
diskret tasodifiy miqdorning 
matematik kutilmasi
deb, uning 
mumkin bо‘lgan qiymatlarini mos ehtimolliklariga kо‘paytmalari yig‘indisiga 
teng songa aytiladi va 
M(X)
yoki m
x
bilan belgilanadi. 
Shunday qilib, agar 
X
diskret tasodifiy miqdorning mumkin bо‘lgan 
n
x
x
x
,
...
,
,
2
1
qiymatlari mos ravishda
n
p
p
р
,
...
,
,
2
1
ehtimolliklarni qabul 
qilsa, u holda,ta’rifga kо‘ra
 







n
i
i
i
n
n
p
x
p
х
р
х
р
х
X
М
1
2
2
1
1
....
(5.1)
 
Agar tasodifiy miqdorning mumkin bо‘lgan qiymatlari sanoqli (cheksiz) bо‘lsa, 
u holda, 









1
2
2
1
1
....
....
i
i
i
n
n
x
p
x
p
x
p
x
p
x
m
 
1-misol.
Quyidagi taqsimot qonuni bilan berilgan 
X
diskret tasodifiy 
miqdorning matematik kutilmasini toping: 
X 
4 
6 
10 
p 
0,5 
0,2 
0,3 
 
Yechish
 
2
,
6
3
,
0
10
2
,
0
6
5
,
0
4
3
3
2
2
1
1










p
x
p
x
p
x
X
M
Matematik kutilma quyidagi xossalarga ega: 
1
.
 
C
C
M

, C
- о‘zgarmas, xususan, 
 


 
X
M
X
M
M

2. 


 




n
n
X
M
X
M
X
M
X
X
X
M







...
...
2
1
2
1
3.


 




n
n
X
M
X
M
X
M
X
X
X
M







...
...
2
1
2
1
,
xususan
,


 
X
CM
CX
M

. 
4. Binomial taqsimotning matematik kutilmasi sinovlar sonini bitta sinovda 
hodisaning rо‘y berish ehtimolligi kо‘paytmasiga teng: 

 
np
X
M


(5.2) 
Haqiqatdan, 
 
 





 

 



































n
k
n
j
n
j
n
j
n
j
j
n
k
n
k
n
k
n
o
k
n
k
k
n
k
k
n
k
k
n
n
np
np
j
P
np
q
p
C
np
q
p
k
n
k
n
np
q
p
k
n
k
n
k
q
p
kC
k
kP
X
M
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
.
1
!
!
1
!
1
!
!
!
5.Puasson taqsimotining matematik kutilmasi

---

32 
 


X
М
,
np


(5.3) 
Haqiqatdan, 
 
 


.
!
1
!
0
1
1





























e
e
k
e
k
e
k
k
kP
X
M
k
o
k
k
k
k
n
 
2-misol. 
Agar 
X
va 
Y
tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi ma’lum, ya’ni 
 
5

X
M
;
 
3

Y
M
bо‘lsa
, 
Y
X
Z
2


tasodifiy miqdorning matematik 
kutilmasini toping. 
Yechish.
Matematik kutilmaning xossalaridan,
 


 
 
11
3
2
5
2
2








Y
M
X
M
Y
X
M
Z
M
Ta’rif. 
 
X
M
X

tasodifiy miqdor 
X
tasodifiy miqdorni о‘zining matematik 
kutilmasidan 
chetlanishi 
(og‘ishi) deyiladi. 
Chetlanish quyidagi taqsimot qonuniga ega:
 
X
M
X

 
X
M
x

1
 
X
M
x

2
… 
 
X
M
x
n

p 
p
1
p
2
… 
p
n
 
Chetlanish
ning muhim xossalaridan biri 

 
0
)
(


X
M
X
M

(5.4)
 
Haqiqatdan,
 
 
 


 
 
0
)
(






X
M
X
M
X
M
M
X
M
X
M
X
M
. 
5.2
 
Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi 
Taqsimot qonunlari turlicha, ammo, matematik kutilmalari bir xil bо‘lgan 
tasodifiy miqdorlar ham uchrab turadi. Masalan, 
X
va 
Y
diskret tasodifiy 
miqdorlar quyidagi taqsimot qonuni bilan berilgan bо‘lsin. 
X 
-2 
0 
2 
Y 
-6 
0 
3 
p 
0,4 
0,2 
0,4 
p 
0,3 
0,1 
0,6 
Matematik kutilmalarni topamiz: 
0
4
,
0
2
2
,
0
0
4
,
0
2
)
(








X
М
 
0
6
,
0
3
1
,
0
0
3
,
0
6








Y
М
 
Kо‘rinib turibdiki, 
X
va 
Y
diskret tasodifiy miqdorlar matematik kutilmalari 
teng ammo, ularning mumkin bо‘lgan qiymatlari 
X
uchun “yaqinroq” 
Y
uchun 
esa “tarqoqroq”.Demak, matematik kutilma tasodifiy miqdorni tо‘la 
tavsiflamaydi. Amaliyotda, kо‘p hollarda tasodifiy miqdorning mumkin bо‘lgan 
qiymatlarini uning о‘rtacha qiymati atrofida 
tarqoqligini 
baholash talab 
qilinadi. Ravshanki, (5.4)dan 
 
X
M
X

chetlanish yordamida 
X
tasodifiy 
miqdor о‘rtacha chetlanishini, ya’ni uning tarqoqlik darajasini aniqlab 
bо‘lmaydi. Shu sababli, tasodifiy miqdor mumkin bо‘lgan qiymatlarini uning 
matematik kutilmasi atrofida tarqoqligi darajasini aniqlash maqsadida chetlanish 
kvadratining matematik kutilmasi qaraladi. 
Ta’rif. 
X
diskret tasodifiy miqdorning 
dispersiyas
i (tarqoqligi) deb, uni 
о‘zining matematik kutilmasidan chetlanishi kvadratining matematik 
kutilmasiga aytiladi. Dispersiya
 
X
D
bilan belgilanadi. Shunday qilib, 

 
 


2
X
M
X
M
X
D



 
(5.5)
 

---

33 
yoki matematik kutilma xossalaridan foydalanib, dispersiyani hisoblash uchun 
qulay bо‘lgan quyidagi formulani hosil qilish mumkin. 

 
 
 


2
2
X
M
X
M
X
D



(5.6) 
3-misol.
Yuqorida (1-misolda)gi taqsimot qonuni bilan berilgan 
X
diskret 
tasodifiy miqdorning dispersiyasini toping. 
Yechish.
Ma’lumki, 
 
6

X
M
, endi
X
2
miqdorning taqsimot qonunini 
yozamiz. 
X
2
 
4
2
6
2
10
2
P 
0,2 
0,3 
0,5 
yoki
X
2
 
16 
36 
100 
P 
0,2 
0,3 
0,5 
 
2
X
M
matematik kutilmani topamiz. 
 
64
50
8
,
10
2
,
3
5
,
0
100
3
,
0
36
2
,
0
16
2










X
M
Izlanayotgan dispersiya 
 
 
 


28
6
64
2
2
2





X
M
X
M
X
D
. 
Dispersiyaning asosiy xossalari 
1) 
 
0

C
D
,
 C
-о‘zgarmas: 2) 


 
X
D
C
CX
D
2

 
3)
 


 
 
,
Y
D
X
D
Y
X
D



xususan 


 
X
D
C
X
D


.
 
Yuqorida, Binomial va Puasson taqsimoti matematik kutilmalari kabi 
dispersiya uchun quyidagi formulalarni yozish mumkin(isbotini о‘quvchiga 
qoldiramiz): 
4) Binomial taqsimot uchun 
 
p
q
npq
X
D



1
,
5) Puasson taqsimoti uchun 
 


X
D
,
np


. 
4-misol
Har birida hodisaning rо‘y berish ehtimolligi 0,7 ga teng bо‘lgan 20 ta 
bog’liqsiz sinovda
X
diskret tasodifiy miqdor rо‘y berishlar soni dispersiyasini 
toping.