12-Ma’ruza: Ikki o‘lchovli uzluksiz tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi va uning xossalari

12-Ma’ruza: Ikki o‘lchovli uzluksiz tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi va uning xossalari

Reja.

1. 
   Ikki o‘lchovlik uzluksiz tasodifiy miqdorlari
   
2. 
   Ikki o‘lchovlik uzluksiz tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi va uning xossalari
   

Tayanch so’z va iboralar: Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlar, ikki o’lchovli uzluksiz tasodifiy miqdorlar,taqsimot qonuni,taqsimot funksiyasi,zichlik funksiyasi

Ikki o‘lchovlik uzluksiz tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi va uning xossalari

• 
  Ikki o‘lchovlik t.m. uzluksiz deyiladi, agar uning taqsimot funksiyasi : 1. uzluksiz bo‘lsa;
  

2. har bir argumenti bo‘yicha differensiyallanuvchi;
3. ikkinchi tartibli aralash hosila mavjud bo‘lsa.

• 
  Ikki o‘lchovlik (X,Y) t.m.ning zichlik funksiyasi
  

(1)

Tenglik orqali aniqlanadi.

(X,Y) t.m.ning G sohaga(23-rasm) tushishi ehtimolligi (7) formulaga ko‘ra:

,





.
da limitga o‘tamiz,


,

ya’ni .

23-rasm.

Demak, (X,Y) ikki o‘lchovli tasodifiy vektorning zichlik funksiyasi deb,

(2)

tenglikni qanoatlantiruvchi funksiya ekan.

zichlik funkiyasi quyidagi xossalarga ega:

1. .
2. . (3)
3. . (4)
4. .
5. X va Y t.m.larning bir o‘lchovlik zichlik funksiyalarini quyidagi tengliklar yordamida topish mumkin:
; . (5)

Isboti. 1. Bu xossa funksiyaning har qaysi argumenti bo‘yicha kamaymaydigan funksiya ekanligidan kelib chiqadi.

2. ifoda (X,Y) tasodifiy nuqtaning tomonlari dx va dy bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchakka tushish ehtimolligini bildiragi. D sohani to‘g‘ri to‘rtburchaklarga ajratamiz(24-rasm) va har biri uchun (3) formulani qo‘llaymiz:


bo‘ladi. Endi da limitga o‘tib, ni hosil qilamiz.
24-rasm.



4. va deb olsak(limit ma’nosida),

5. Avval X va Y t.m.larning taqsimot funksiyalarini topamiz:



(6)

Birinchi tenglikni x bo‘yicha, ikkinchisini y bo‘yicha differensiyallasak, X av Y t.m.larnin zichlik funksiyalarini hosil qilamiz:

va

■
Izoh. Agar X va Y t.m.larning alohida zichlik funksiyalari berilgan bo‘lsa, (umumiy holda) ularning birgalikdagi zichlik funksiyalarini topish mumkin emas.
1-misol. (X,Y) ikki o‘lchovli t.m.ning birgalidagi zichlik funksiyasi berilgan

Quyidagilarni toping: 1) O‘zgarmas son C; 2) ; 3) va ;

4) va ; 5) .
1) tenglikdan

2) , , ya’ni

3) , , demak

Aynan shunday,

4)

va shu kabi

5)