Mundarija. Kirish. I-bob. Oddiy differentsial tenglamalar uchun qo’yilgan chegaraviy masalalarni grin funksiyasi orqali yechish

3§.Yarim fazo uchun Dirixle masalasini yechish
Yarim fazo uchun Dirixle masalasini yechish.

Dirixle masalasining izlanayotgan yechimi chegaralangan bo’lsin deb hisoblaymiz . x va ξ –yarim fazoning nuqtalari bo’lib , ξ'=( ξ₁ , …. , ξ_n-1, ξ_n) nuqta ξ_n=0 tekislikka nisbatan ξ nuqtaga simmetrik nuqta bo’lsin .

g(x, ξ) =-E(x, ξ') funiksiya bo’ladi . Bundan tashqari ξ_n =0 da E(x, ξ)- E(x, ξ')=0 bo’ladi .U holda

G(x, ξ) = E(x, ξ)- E(x, ξ') (40)

funiksiya tekshirilayotgan yarim fazo uchun Grin funiksiyasidan iborat bo’ladi . Dirixle masalasining izlanayotgan u(x) yechimi uchun (31) formula o’rinli deb hisoblaymiz . Shunday ham bo’ladi , barcha x€ D lar uchun |x| → ∞ da ushbu

Tengsizliklar bajarilsa , bunda A va h –musbat sonlar .

Bunga mos ravishda yetarli katta uchun y_n =0 tekislikda berilgan φ (y₁, . . . , y_n-1) funiksiya ham shartni qanoatlantirishi kerak .(40) Grin funiksiyasining (31) dagi normal bo’yicha hosilasini hisoblaymiz :

Bunga asosan

Bu ifodani (31) formulaga quyib , yarim fazo x_n >0 uchun chegaraviy sharti
(40)

Bo’lgan Dirixle masalasining yechimini beruvchi quyidagi Puasson formulasini hosil qilamiz :

(41)

yoki

(42’)
Bunda berilgan φ(ξ) funiksiya uzluksiz chegaralangan . (42’) formula bilan aniqlangan u(x) funiksiya Laplas tenglamasini qanoatlantirishi ravshan , bu funiksiyaning (41) shartni qanoatlantirishini ko’rsatamiz .

Eⁿ fazoda ixtiyoriy R radiusli shar Q_R uchun

formula o’rinlidir ((17) formulani hosil qilishga qaralsin ). Shu bilan birga
.

Bularni e’tiborga olib belgilashni kiritsak , R→∞ da ushbu

tenglikka ega bo’lamiz. x_n>0 bo’lgani uchun almashtirishni bajarsak ,quyidagi tenglikni hosil qilamiz :

Oxirgi integralda

almashtirish bajaramiz . U holda

Chunki Demak ,

(43)

Agar y=(y₁, . . . , y_n-1) , x_n>0 yarim fazo chegarasidagi biror nuqta bo’lsa , (42’) va (43) ga asosan

(44)
Tenglikni hosil qilamiz .σ (y) orqali y nuqtaning

Shart bilan aniqlanuvchi atrofini belgilab olamiz . φ(ξ) funiksiya uzluksiz bo’lgani uchun δ ni yetarli kichik qilib tanlab olish mumkinki , σ (y) atrofiga tegishli bo’lgan

Ξ=( Ξ₁, . . ., Ξ_n-1) nuqtalar uchun

tengsizlik bajariladi . (44) tenglikni σ (y) atrof va uning tashqarisi bo’yicha olingan ikki integralning yig’indisi sifatida yozib olamiz , so’ngra bo’lganligi sababli

bo’lganda

Bu yerda M_δ –δ ga bog’liq bulgan biror musbat o;zgarmas .

Agar x_n ni yetarli kichik deb hisoblasak ,

,

ya’ni x_n>0 yarim fazodagi x nuqta uning chegarasidagi y nuqtaga intilganda u(x)→φ(y) .