Mundarija. Kirish. I-bob. Oddiy differentsial tenglamalar uchun qo’yilgan chegaraviy masalalarni grin funksiyasi orqali yechish

FUNKSIYASI ORQALI YECHISH.

1§. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar va uning xossalari.
Ma’lumki ikkinchi tartibli bir jinsli

(1.1.1)

Tenglamaning bitta xususiy yechimi ma’lum bo’lsa, uning umumiy yechimi

formula bilan aniqlanar edi.Bunda lar kurilayotgan oraliqda uzluksiz funksiyalardir.

(1.1.2)

differentsial tenglamaga o’ziga qo’shma ikkinchi tartibli differentsial tenglama deyiladi. (1.1.2) ni ochib chiqsak.

bundan ko’rinadikim , o’ziga qo’shma differentsial tenglamada oldidagi koeffitsient oldidagi koeffitsientning hosilasiga tengdir.

Хоssа-1 har qanday ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani o’ziga qo’shma differentsial tenglamaga keltirish mumkin .

(1.1.3)

differentsial tenglama berilgan bo’lsin .

(3) tenglamaning har ikkal tomonini ga ko’paytirganda,u o’ziga qo’shma bo’lgan differentsial tenglamaga aylansin , ya’ni quyidagi shart bajarilsin .

Bundan

integrallasak

Bunda (6)

deb olsak (2) tenglamaga ega bo’lamiz (6) dan ko’rinadikim

Misol. Bessil tenglamasini o’ziga qo’shma bo’lgan differentsial tenglamaga keltiring .

Bu yerda

Bu Bessil tenglamasiga qo’shma bo’lgan differentsial tenglamadir.

Хоssа 2. kkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani erkli o’zgaruvchini almashtirish yordamida uni hamma vaqt

(8)

ko’rinishga keltirish mumkin

Bunda

Faraz etaylik ikkinchi tartibli differentsial tenglama o’ziga qo’shma holga keltirilgan bo’lsin . (9)

Bunda

almashtirishni olamiz.

(16) ga asosan

bo’lgani uchun

ga ega bo’lamiz .

Bunda t o’zgaruvchi х ning monoton o’suvchi funksiyasi ekanligi kelib chiqadi .Bundan chiqadikim, х ham t ning uzluksiz va differentsiallanuvchi funksiyasi sifatida intervalga mos kelgan intervalda aniqlangan .

Uni

(10)

desak bajariladi.

U holda (11)

(11) ga asosan (9) (10) ni e’tiborga olsak keyingi tenglamani

ko’rinishda yoza olamiz. Bunda

Misol .

Хоssа 3. ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani ,noma’lum funksiyani chiziqli almashtirish yordamida

ko’rinishga keltirish mumkin. (12)

tenglamada almashtirishni olamiz (13)

Bu qiymatlarni (12)ga qo’ysak

(14)

ixtiyoriy funksiya bo’lgani uchun uni shunday tanlab olamizkim

bajarilsin

bundan

Bu qiymatlarni (14) ga qo’ysak

Bunga (12) tenglamaning invarianti deyiladi .Agar invariant o’zgarmas songa yoki ko’rinishga ega bo’lsa u holda ikkinchi tartibli chiziqli differentsial tenglamani hamma vaqt integrallash mumkin .Chunki bu holda (12) tenglama yo koeffitsientlari o’zgarmas tenglamaga yoki Eyler tenglamasiga keltiriladi.

Misol.

Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani tebranmas va tebranuvchi yechimlari.

Taqqoslash teoremasi .

Koeffitsientlari o’zgarmas bo’lgan, ikkita tartibli

(1)

(2)

differentsial tenglamalar berilgan bo’lsin .

bunda

ma’lumki (1) tengalamaning xususiy yechimlari ,

dan iborat bo’lib

uning umumiy yechimi dan iborat,

uning nolini topamiz .
ya’ni (1) tengalamaning yechimi da 1 tadan ortiq nolga ega emas .tenglamaning umumiy yechimi

ning nolini topamiz :

ya’ni (2) tenglama oraliqda cheksiz ko’p nollarga ega bo’lib ,ketma-ket 2 ta nol orasidagi masofa ga teng

Uzunligi dan katta bo’lgan har bir oraliqda (2) tenglamaning ixtiyoriy yechimining 1 ta noli yetadi ,uzunligi dan katta bo’lgan ixtiyoriy intervalda esa 2 ta noli yotadi .

Ta’rif. Agar differentsial tengalamaning yechimi berilgan oraliqda 1 tadan ortiq nolga ega bo’lmasa ,bunday yechimga tebranmas yechim deyiladi .

Аgar bu бу yechim yetarli katta oraliqda 2 tadan ortiq nolga ega bo’lsa , bunday yechimga tebranuvchi yechim deyiladi .

Ma’lumki har qanday Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani

ni (3)

kurinishga keltirish mumkin .

Shturm teoremasi.

Ma’lumki tengalama 2ta chiziqli bog’liq bo’lmagan

yechimlarga ega bo’lib ,bu yechimlardan birini ketma –ket 2 ta nollari orasida ikkinchi yechimning faqat bitta noli yotadi.

Shturm teoremasi. Ikkinchi tartibli bir jinsli

(3)

differentsial tengalamaning 2ta chiziqli bog’liq bo’lmagan tebranuvchi yechimlarining nollari bir-birini o’zaro ajratadi.

Isbot.faraz etaylik va (3) tengalamaning 2ta chiziqli bog’liq bo’lmagan tebranuvchi yechimlari bo’lsin va yechimning 2 ta ketma-ket noli х₀ vа х₁bo’lb, oraliqda

boshqa nolga ega bo’lmasin .Ya’ni

oraliqda faqat 1 ta nuqta mavjudkim, bu nuqtada bo’ladi .Teskarisiga faraz etaylik oraliqdagi nuqta uchun

bo’lsin,

Masalaning aniqligi uchun (x₀,x₁) dа y₂(x)>0 bo’lsin.

[x₀,x₁] oraliq oxirida y₂(x) nolga teng bo’lmaydi , ya’ni aks,holda

Vronskian

(4)

x₀ vа x₁ nuqtada nolga teng bo’lar edi .Buning bo’lishi mumkin emas ,chunki y₁(x) vа y₂(x) lar chiziqli bog’liq emas .

Demak Vronskiy determinanti bu oraliqda o’z ishorasini o’zgartirmaydi .Shuning uchun W(x)>0 deb olish mumkin [x₀,x₁] da.

(4) ning har ikkala tomonini ga bo’lamiz .