Mundarija. Kirish. I-bob. Oddiy differentsial tenglamalar uchun qo’yilgan chegaraviy masalalarni grin funksiyasi orqali yechish

4§.Matematik fizika tenglamalari uchun qo’yilgan chegaraviy masalalarni Grin funksiyasi orqali yechishga doir masalalar.
CHekli sohalarda issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamalari uchun quyilgan masalalarni Grin funksiyasi yordamida yechish.

Ushbu

(1)

Chekli sohada aniqlangan issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun qo’shma tenglama

( 2 )

ko’rinishda bo’ladi .

Har qanday yetarlicha differintsiallanuvchi u va v funksiyalar uchun quyidagi
(3)

ayniyat o’rinli . (3) ayniyatni APQB AEFB s oha bo’yicha integrallab (1) tenglamaning ixtiyoriy yechimini beruvchi

(4)

asosiy integral formulani olamiz , bu yerda

(5)

funksiya (x,t) bo’yicha (1) tenglamani ,(ξ,τ) bo’yicha esa (2) tenglamani qanoatlantiradi.

I-Masala . (1) tenglamaning

sohada aniqlangan va uzluksiz (6) hamda

boshlang’ich va

(7)

Chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimni Grin funksiyasi yordamida toping ,bu yerda φ(A) =ψ₁(A) ,

φ(B)=ψ₂(B).

Yechish. Masalani yechishdan oldin I –aralash masalaning Grin funksiyasining topish kerak.

Ta’rif. I-aralash (chegaraviy ) masalaning Grin funksiyasi deb , quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi G₁ (x,t;ξ,τ) funksiyaga aytiladi .

1. 
   G₁ (x,t;ξ,τ) funksiya PABQ sohada aniqlangan va har qanday t>τ uchun ,(ξ,τ) bo’yicha (2) tenglamani qanoatlantiradi ;
   
2. 
   Ushbu
   

(8)

(9)

Bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi ;

3) (10)

bo’ladi;

4) ixtiyoriy λ>0 uchun , ya’ni ;

5) (11)

ko’rinishida bo’ladi , bu yerda vunksiya quyidagi

(12)

shartlarni qanoatlantiruchi (2) tenglamaning regulyar yechimidir, funksiya esa (5) formula orqali aniqlanadi.

(11) Grin funksiyasidan va (4) formuladan foydalanib, I-aralash masalaning yechimi quydagicha
(13)

topiladi.

Agar , bo’lib , AB esa (0,l) intervaldan iborad bo’lsa , u holda (1), (6), (7) I-aralash masalaning yechimi (13) formulaga ko’ra

(14)

ko’rinishda bo’ladi , bu yerda

(14) formuladagi G₁ (x,t;ξ,τ) Grin funksiyasini akislantirish usuli yordamida tuziladi . Bunda musbat manbalar 2nl +ξ nuqtalarda , manfiy manbalar 2nl- ξ nuqtalarda joylashtirib , uning ko’rinishi quyidagicha ifodalanadi

(15)

Bu yerda U(x;ξ,t-τ)- funksiya (5) formula orqali topilib , y (1) tenglamaning fundamental yechimi bo’ladi .

15. 
    qatorni quyidagi ko’rinishda ham yozib olish mumkin :
    

(16)

Bu yerda

(17)

Bunda -belgi (15) qatordan (5) ko’rinishdagi hadni ayirib tashlanganligini bildiradi . (17) qatorning hadlari x va t bo’yicha sohada istalgan tartibda hosilalarga ega . (17) qator (t* -ixtiyoriy musbat son ) sohada absolyut va tekis yaqinlashuvchi bo’ladi .Xuddi shunday (17) qatorni x va t bo’yicha hadlab differintsiallash natijasida hosil bo’lgan qatorlar ham sohada absolyut va tekis yaqinlashuvchi bo’ladi . Hamda t→τ , t>τ bo’lganda qatorning har bir hadi nolga intiladi .

Shunday qilib ,(16) qator bilan aniqlangan G₁ (x,t;ξ,τ) funksiya Grin funksiyasi uchun quyilgan 1) , 2) , 3), 4) , shartlarni qanoatlantiradi .

II-Masala . (1) tenglamaning sohada aniqlangan va uzluksiz hamda

(18)

Boshlang’ich va

(19)

Chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimni Grin funksiyasi orqali toping .

Yechish : Davom ettirish usuli yordamida Grin funksiyasini quydagicha tuzib olamiz :

(20)

Bunda manbalarni joylashish seximasi quydagicha

bo’ladi.(20) Grin funksiyasi ushbu xossalarga ega :

(21)

(20)Grin funksiyasi va uning (20) xossasidan hamda (4) formuladan foydalanib (1) , (18) ,(19) II-aralash (chegaraviy ) masalaning yechimini quydagicha ko’rinishda

(22)

yozib olamiz .

III-aralash (chegaraviy ) masalani Grin funksiyasi yordamida yechish .

Koshi masalasi

(23)

tenglamaning sohada aniqlangan , uzluksiz hamda

(24)

Boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimni Grin funksiyasi yordamida toping .

Yechish . (23) tenglamadagi x va t o’zgaruvchilarni mos ravishda ξ va τ ga almashtirib quyidagi tenglamani

(25)

hosil qilamiz .

Agar Grin funksiyasi bo’lsa , u holda bu funksiya quyidagi tenglamani

(26)

qanoatlantiradi .

(25)va (26) formulalarga asosan quyidagi tenglikni olamiz :

(27)

(27) tenglikning ξ bo’yicha -∞ dan +∞ gacha , τ bo’yicha esa 0 dan t-α gacha integrallab , quyidagini

(28)

hosil qilamiz .Bu yerda (28) ayniyatni olisgda u(ξ,τ) va unung ξ bo’yicha hosilalari da chegaralangan bo’lishi talab qilingan .

(28) ayniyatda α → 0 limitga o’tib ,

(29)

Koshi masalasini yechimini olamiz.

Elliptik tipdagi tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni yechishda Grin funksiyasi .
Elliptik tipdagi tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni yechishda (Manba funksiya ) Grin funksiyasi muhim o’rin tutadi .

I-Masala . (1)

Laplas tenglamasi uchun sharda ichki Dirixle masalasining Grin funksiyasini tuzing .

Yechish .akslantirish usuli yordamida sharda Grin funksiyasini tuzamiz .U_R soha markazi koordinata boshida va radiusi R ga teng bo’lgan shar bo’lsin .Uni chegaralab turgan sferani S_R orqali belgilab olamiz .Faraz qilaylik ,y≠0 bo’lib , y ga S_R sferaga nisbatan simmetrik nuqta y^* bo’lsin , ya’ni

(2)

|y|R sferadan tashqarida yotadi .Bu nuqta uchun ushbu inversiya almashtirish o’rinlidir :

(3)

Grin funksiyasini quyidagi ko’rinishda izlaymiz :

(4)

Bu yerda funksiya Laplas tenglamasining fundamental yechimi bo’lib , bu funksiya y≠x bo’lganda y bo’yicha ham , x bo’yicha ham Laplas tenglamasini qanoatlantiradi.

funksiya esa U_R da y bo’yicha ham , x bo’yicha ham garmonik funksiya bo’lib , sinfga tegishlidir , ya’ni bu funksiyaning maxraji nolga aylanmaydi , α –keyinchalik aniqlanadigan son.

Agar x€ S_R bo’lsa , u holda a-chizmaga ko’ra Oxy* va Oxy uchburchaklar o’xshash bo’ladi, chunki ular umumiy O burchakka ega va bu burchakni hosil qilgan tomonlari (2) va (3) tengliklarga ko’ra proporsionaldir , ya’ni

,

Bu yerda |y*| va R – Oxy* va Oxy uchburchakning mos ravishda tomonlarining uzunliklari .

Shunday qilib , uchburchakning o’xshashligidan

yoki (5)

tengliklarni hosil qilamiz .Grin funksiyasining ta’rifiga ko’ra α sonini shunday tanlaymizki , bo’lsin . Bundan va (4) dan

(6)

kelib chiqadi. (5) ga asosan esa

(7)

ega bo’lamiz.

Shunday qilib , (5) va (7) ga ko’ra

(8)

ni hosil qilamiz .

(8) formulaning ikkinchi qo’shiluvchisining (3) ga asosan quyidagicha ifodalab olamiz :

(9)

(9) ifodani (8) formulaga qo’yib ,shar uchun Grin funksiyasini quyidagi ko’rinishda topamiz :

(10 )

2-masala. tenglamaning D₁ : z>0 yarim fazodagi Grin funksiyasi ko’rinishga ega bo’lishini ko’rsating , bu yerda

(1-chizma)

Yechish . (*) va

asosan , Grin funksiyasi funksiya , qaralayotgan sohada garmonik funksiya bo’lgani uchun va tenglamalarni qanoatlantiradi , shu bilan birga G(x,ξ)=0 shartga asosan (x,y,z) va (ξ,η,ζ) nuqtalarning hech bo’lmaganda bittasi ga tegishli bo’lsa , ya’ni bo’lishi kerak . Demak , (x,y,z) va (ξ,η,ζ) nuqtalarning hech
bo’lmaganda bittasi ga tegishli bo’lshi uchun z=0 yoki ζ=0 bo’lishi shart . Bundan esa r=r₁ bo’ladi, ya’ni . Bu funksiya D₁ sohada garmonikdir . Shunday qilib , funksiya D₁ sohada Laplas tenglamasining Grin funksiyasi bo’ladi .

tenglamaning D₂ :y > 0 yarim tekislikdagi Grin funksiyasi qo’yidagi ko’rinishda bo’ladi :

(11)

Bu yerda
(2-chizma)

Integral ifoda Agar u(x) funksiya sinfga tegishli bo’lsa u holda bu funksiyaning integral ifodasi

(12) , (13)

Ko’rinishda bo’ladi, bu yerda S₁ -birlik sfera .

Agar u(x) funksiya D sohada garmonik funksiya bo’lsa , u holda (12) va (13) formulalarda Δu=0 bo’lib, bu garmonik integral ifodasi


ko’rinishda bo’ladi.

Yuqoridagi integral ifodalarga o’xshash ushbu Puasson tenglamasi uchun Dirixle masalasining yechimi

(16)

Formula orqali topiladi , bu yerda G(x,ξ) Grin funksiya bo’lib , (*) formuladan aniqlanadi.

Grin funksiyasi yordamida chegaraviy masalalarni yechish .

Yarim tekislikda (1) Laplas tenglamasi uchun (n=2) Dirixle masalasini qaraymiz :

(17)

(18)

(17),(18) masalaning yechimi qo’yidagi ko’rinishda

(19)
ifodalanadi , bu yerda G(x,y;ξ,η) –funksiya (11) formula orqali aniqlanadi , ya’ni

.

Bu funksiyani η bo’yicha differensiallab , quyidagi

(20)

ega bo’lamiz.

(20) ni (19) ga quyib , (17) , (18) masalaning yechimini

(21)

olamiz.

3-masala . Quyidagi (17)

(22)

Dirixle masalasining yeching .

Yechish. (22) ni (21) ga quyib , quyidagini hisoblaymiz :

(23)

Bu yerda

Bundan , chegirmalar haqidagi teoremadan foydalanib

(24)

ni topamiz .

Buni (23) ga quyamiz :

Shunday qilib , (17) (22) masalaning yechimi

ko’rinishda bo’ladi.

Yarim fazoda (1) Laplas tenglamasi uchun (n=3) Dirixle masalasini qaraymiz :

Bu masalaning yechimi quyidagi ko’rinishda

Ifodalanadi ,bu yerda funksiya ushbu formula orqali aniqlanadi

Bu funksiyani ζ bo’yicha differinsiallab , so’ng ζ=0 quyib ,quyidagiga

ega bo’lamiz .

Demak , yarim fazoda (z>0) (1) Laplas tenglamasi uchun Dirixle masalasining yechimi

(25)

ko’rinishda bo’ladi .

4-masala . Quyidagi

Dirixle masalasini yeching .

Yechish. Quyilgan Dirixle masalasining yechimi quyidagi

formuladan topiladi .Bu integralning hisoblash uchun almashtirishlarni bajarib ,

(26)

ni hosil qilamiz ,ifodadagi qolgan 3 ta integrallar integral ostidagi funksiyalarning toqligiga ko’ra nolga teng bo’ladi .

Endi ushbu integralni hisoblaymiz:


Chunki

Oxirgi integralda almashtirishlarni bajarib,

(27)

ga ega bo’lamiz .

(27) formulaga chegirmalar haqidagi Koshi teoremasini qo’llaymiz :

Bundan va (26) dan quyilgan Dirixle masalasining yechimini

ko’rinishda topamiz .