Mundarija. Kirish. I-bob. Oddiy differentsial tenglamalar uchun qo’yilgan chegaraviy masalalarni grin funksiyasi orqali yechish

y₂>0 bo’lgani uchun , bu tenglikning ung tomoni x ga nisbatan cheksiz funksiya bo’ladi .Keyingi tenglikni har ikkala tomonini x₀ dan x₁ oraliqda integrallaymiz :

Bu keyingi tenglikning chap tomoni nolga teng bo’lib , o’ng tomoni esa musbatdir.

Bu qarama –qarshilik ko’rsatdikim , shunday , nuqta, (x₀< <x₁) mavjudkim bu nuqtada y₂( )=0 .Bunday nuqta yagonadir aksincha faraz etaylik y₂(x )ikkita nolga ega bo’lsin bunda .

y₁ bilan y₂ o’rinlarni almashtirsak , bilan oraliqda y₁(x) ning bitta noli bular edi .Bu esa y₁(x) ikkita ketma-ket x₀,x₁ nolga ega degan shartga qarama-qarshidir .Shturm teoremasiga misol qilib y''+y=0 tengalamani olish mumkin. Bu tengalamaning 2 ta y₁=cosx , y₂=sinx chiziqli bog’liq bo’lmagan yechimlarining nollari almashinib keladi .

Taqqoslash teoremasi .

Tengalamalari berilgan bo’lsin . Bundan p₁(x) vа p₂(x) funksiyalr (a,b) oraliqda uzluksiz va bu oraliqda

Sharti bajarilsin .U holda birinchi tengalamaning ixtiyoriy yechimining 2 ta ketma –ket x₀,x₁ nollariorasida , ikkinchi tengalamaning ноллари орасида, иккинчи тенгламанинг yechimining hech bo’lmaganda bitta noli yetadi.

Isbот. Faraz etaylik x₀ vа x₁ yechimning 2 ta noli bo’lsin.Isbot etamizkim, shunday x* nuqta mavjuudkim ,uning uchun (x₀₁) bo’ladi.Teskarisini faraz etamiz (x₀,x₁) oraliqda ning birorta ham noli bo’lmasin , ya’ni . Aniqlik uchun (x₀,x₁) oraliqda bo’lsin.

U holda , x₀ ning o’ng tomonida o’suvchi va x₁ ning chap tomonida kamayuvchi bo’ladi .

Demak

vа yechimlarni (1) vа (2) tengalamaga olib borib qo’ysak

(3)

Bularning birinchisini ga, ikkinchisini y(x) ga ko’paytirib , birinchiisidan ikkinchisini hadlab ayirsak

Bu keyingi tenglikni x₀ dan x₁ oraliqda integrallasak

(4)

ga ega bo’lamiz .

Lekin bo’lgani uchun (4) ning chp tomonini manfiy bo’lib , o’ng tomoni esa musbatdir .

Bu qarama qarshilk shuni ko’rsatadikim (x₀,x₁) oraliqda shunday x* nuqta topiladikim , bu nuqtada .

Isbot bo’ldi.

Мисол.

Bessil tenglamasini oraliqda qaraymiz almashtirish yordamida uni

(6)

Ko’rinishga keltiramiz .

Bunda z oldidagi koeffitsient bo’lganda birdan katta, bo’lganda birdan kichik bo’ladi. (6) tenglamani y''+y=0

Tenglama bilan taqqoslab , Bessil funksiyasining ketma-ket nollari orasidagi masofa ρ,

da π da kichik (ρ< π) vа dа π dan katta bo’ladi (ρ>π)

da Bessil funksiyasining ketma-ket nollari orasidagi masofa ρ= π gat eng bo’ladi.