8-amaliy mashg`ulot. Mavzu: Funksiyalarni oraliqda Furye qatoriga yoyish. Funksiyalarni simmetrik bo‘lmagan oraliqda Furye qatoriga yoyish oraliqda berilgan funksiyaning Fure qatori

8-amaliy mashg`ulot.
Mavzu: Funksiyalarni oraliqda Furye qatoriga yoyish. Funksiyalarni oraliqda Furye qatoriga yoyish. Funksiyalarni simmetrik bo‘lmagan oraliqda Furye qatoriga yoyish
oraliqda berilgan funksiyaning Fure qatori. funksiya da berilgan va shu oraliqda integrallanuvchi bo’lsin.
Ravshanki, ushbu
(6)
almashtirish oraliqni oraliqqa o’tkazadi. Agar

deyilsa, funksiyani da berilgan va shu oraliqda integrallanuvchi bo’lishini ko’rish qiyin emas. Bu funksiya­ning Fure qatori quyidagicha bo’ladi:

bunda,
.
Yuqoridagi (6) tenglikni e’tiborga olsak, unda

bo’lib, uning koeffitsientlari esa

bo’ladi.
Natijada
(7)
ga ega bo’lamiz, bunda
(8)
(7) ning o’ng tomonidagi trigonometrik qatorni da berilgan ning Fure qatori deyiladi, (8) Fure koeffitsientlari deyiladi.
1-misol. Ushbu

funksiyaning Fure qatori yozilsin.
◄ (8) formulalardan foydalanib, berilgan funksiyaning Fure koeffitsientlarini topamiz:
(bunda )



Demak, funksiyaning Fure qatori ushbu

ko’rinishda bo’ladi.►
Fure qatorining ta’rifi. funksiya da berilgan va shu oraliqda integ­ral­lanuvchi bo’lsin. U holda
,
funksiyalar ham, ikkita integrallanuvchi funksiyalar ko’paytmasi sifatida da integralla­nuvchi bo’ladi. Bu funksiyalar integrallarini hisoblab, ularni quyidagicha belgilaylik:
(2)
Bu sonlardan foydalanib ushbu
(3)
trigonometrik qatorni tuzamiz.
1-ta’rif. koeffitsientlari (2) formu­lalar bilan aniqlangan (3) trigonometrik qator funksiyaning Fure qatori deb ataladi. sonlar esa funksiyaning Fure koeffitsientlari deyiladi.
Demak, berilgan funksiyaning Fure qatori shunday trigonometrik qatorki, uning koeffitsientlari shu funksiyaga bog’liq bo’lib, (2) formulalar bilan aniqlanadi. Shu sababli (3) qatorni (uning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo’lishidan qat’iy nazar) ushbu “~” belgi bilan quyidagicha yoziladi:


Namuna uchun misollar:
2 -misol. Ushbu

funksiyaning Fure qatorini toping.
Berilgan funksiyaning Fure koeffisentlarini hisoblaymiz:

Demak,

funksiyaning Fure qatori

bo’ladi.
Juft va toq funksiyalarning Fure qatori. Faraz qilaylik, funksiya da berilgan juft funksiya bo’lib, u shu oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. Bu funksiyaning Fure koeffisentlarini topamiz:

Demak, juft funksiyaning koeffisentlari

bo’lib, Fure qatori

bo’ladi.
Aytaylik, funksiya da berilgan toq funksiya bo’lib, u shu oraliqda intergallanuvchi bo’lsin. Bu funksiyaning koeffisentlarini topamiz:


Demak, toq funksiyaning Fure koeffisentlari

bo’lib, Fure qatori

bo’ladi.
3-misol. Ushbu

Juft funksiyaning Furw qatori topilsin.
Avvalo funksiyaning Fure koeffisentlarini topamiz:

Demak, funksiyaning Fure qatori

bo’ladi.
4-misol. Ushbu

Toq funksiyaning Fure qatorini toping.
Berilgan funksiyaning Fure koeffisentlarini hisoblaymiz:
.
Demak, funksiyaning Fure qatori

bo’ladi.
Mustaqil yechish uchun misollar.

1. 
   Funksiyani Fure qatoriga yoying. .
   
2. 
   Funksiyani Fure qatoriga yoying. .
   
3. 
   Funksiyani Fure qatoriga yoying. .
   
4. 
   Funksiyani Fure qatoriga yoying. .
   
5. 
   Funksiyani Fure qatoriga yoying. .
   
6. 
   Funksiyani Fure qatoriga yoying. .
   
7. 
   Funksiyani Fure qatoriga yoying. .