6-§. Yaqinlashuvchi Fure qatori yig’indisining funksional xossalari

6-§. Yaqinlashuvchi Fure qatori yig’indisining
funksional xossalari
Biz mazkur kursning 14-bobida yaqinlashuvchi funsional qatorlar yig’indisining funksional xossalarini batafsil o’rgandik. Ravshanki, berilgan funksiyaning Fure qatori funksional qatorlarning hususiy holidir. Binobarin, tegishli shartlarda Fure qatorlari yig’indilari ham 14-bobda keltirilgan xossalarga ega bo’ladi. Quyida ularni isbotsiz keltiramiz.
funksiya da berilgan va uning Fure qatori
(20.37)
da yaqinlashuvchi bo’ladi.
1⁰. Fure qatorlari yig’indisining uzluksizligi. Agar (20.37) qator da tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda bu qatorning yig’indisi ora­liqda uzluksiz funksiya bo’ladi.
2⁰. Fure qatorini hadma-had integrallash. Agar (20.37) qator da tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda (20.37) qator hadlarining integrallaridan tuzilgan.


qator ham yaqinlashuvchi bo’ladi va uning yig’indisi

ga teng bo’ladi, ya’ni


3⁰. Fure qatorini hadma-had differensiallash. Agar (20.37) qator har bir hadi­ning hosilalaridan tuzilgan

qator da tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda berilgan Fure qatorining yig’indisi shu da hosilaga ega va

bo’ladi.
Shunday qilib, umumiy holdagidek funksiya Fure qatori yig’indisining funksional xossalarini o’rganishda Fure qatorining tekis yaqinlashuvchi bo’lishi muhim rol o’ynayapti. Binobarin, Fure qatorining tekis yaqinlashuvchi bo’lishini ta’minlaydigan shartlarini aniqlash lozim bo’ladi.
Endi shu haqida teorema keltiramiz
4-teorema. Fure qatorining tekis yaqinlashishi. funksiya oraliqda berilgan, uzluksiz hamda bo’lsin. Agar bu funksiya oraliqda bo’lakli – silliq bo’lsa, u holda funksiyaning Fure qatori

oraliqda tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.
Berilgan funksiya Fure qatorining har bir

hadi uchun

bo’ladi.
Endi

qatorning yaqinlashuvchi bo’lishini ko’rsatamiz.
Fure koeffitsientlari
,
ni qaraylik.
Bo’laklab integrallash qoidasiga ko’ra

(20.38)


Agar shartni e’tiborga olsak, u holda
(20.39)
bo’ladi.
ning Fure koeffitsientlarini va desak:
, ,
u holda (20.38) va (20.39) munosabatlarga ko’ra
,
bo’ladi. Natijada

bo’ladi.
Agar

bo’lishini hisobga olsak, unda ushbu
(20.40)
tengsizlikka ega bo’lamiz.
Shartga ko’ra funksiya bo’lakli-uzluksizdir. Binobarin, u kvadrati bilan integrallanuvchidir. Shuning uchun bu funksiyaning Fure koeffitsientlari Bessel tengsizligini qanoatlantiradi, ya’ni

bo’ladi. Demak,

qator yaqinlashuvchi. Unda yaqinlashuvchi qatorlarning xossalariga ko’ra ushbu
(20.41)
qator ham yaqinlashuvchi bo’ladi.
Yuqorida keltirilgan (20.40) tengsizlikka muvofiq

qatorning har bir hadi (20.41) qatorning mos hadidan katta emas.
Taqqoslash teoremasiga ko’ra (qaralsin, I-tom, 2-bob, 8-§) (20.39) qator yaqinlashuvchi, demak,

qator yaqinlashuvchi bo’ladi.
Veyershtrass alomatidan (14-bob, 2-§) foydalanib, Fure qatorining da tekis yaqinlashuvchi bo’lishini topamiz.