Mundarija. Kirish. I-bob. Oddiy differentsial tenglamalar uchun qo’yilgan chegaraviy masalalarni grin funksiyasi orqali yechish

3§.Oddiy differentsial tenglamalar uchun qo’yilgan chegaraviy masalalarni Grin funksiyasi orqali yechishga doir misollar.
Agar λ =0 L operatorning xos qiymatlari bo’lmasa , u holda (1) , (2) masalaning yechimi M_L sohada yagona va quydagi formuladan

topiladi , bu yerda -(1) ,(2) masalaning Grin funksiyasi.

Ta’rif :

(1)

(2)

masalaning Grin funksiyasi deb shunday funksiyaga aytiladiki , u funksiya sohada aniqlangan bo’lib ,[a,b] oraliqda olingan har bir ξ uchun x ning funksiyasi sifatida quydagi shartlarni qanoatlantirsa :

1. 
   x-ning funksiyasi sifatida funksiya quydagi
   

(3)

tenglamani qanoatlantiradi;

2) funksiya x=a va x=b bo’lganda (2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi;

3) x=ξ bo’lganda [a, ξ] va [ξ,b] oraliqda x bo’yicha funksiya uzluksiz , lekin birinchi tartibli hosilasi x=ξ nuqtada chekli uzulishga ega , ya’ni :

(4)

Agar (1),(2) chegaraviy masala faqat trivial yechimga ega bo’lsa , u holda bu masala uchun yagona Grin funksiya mavjud va quydagi ko’rinishda

(5)

Izlanadi , bu yerda y₁(x) va y₂(x) funksiyalar L(y)=0 tenglamaning noldan farqli yechimlari bo’lib , mos ravishda (2) ning shartlarni qanoatlantiradi.

(5) funksiya (4) shartlarni qanoatlantirishi uchun φ(ξ) va ψ(ξ) funksiyalarni shunday tanlash kerakki , quydagi sistema

(6)

yechimga ega bo’lsin .

6. 
   ko’ra (5) ni quydagi ko’rinishda ifodalaymiz :
   

(7)

bu yerda

(8)

(9)

ω(x) -Vronskiy determinanti .

Agar λ=0 L operatorning xos qiymatlari bo’lmasa , u holda Ly=λy+f(x) tenglama uchun quyilgan (2) chegaraviy masalaning yechimi quydagi integral tenglamaga

(10)

teng kuchlidir , bu yerda

1-misol Quyidagi

(11)

(12)

Masalaning Grin funksiyasini tuzing va uning yechimini toping .

Yechish. tenglamaning umumiy yechimi dan iborat .Bunga ko’ra y₁(x)=x va y₂(x)=x-1 funksiyalar mos ravishda y(0)=0 va y(1)=0 shartlarni qanoatlantiruvchi tenglamaning yechimlari bo’ladi . (1) va (11) ga asosan p(x)=1 teng .(9) ko’ra esa ga teng . Demak , Bundan va (7) formulaga asosan (11) , (12) masalaning Grin funksiyasi quydagi ko’rinishda

(13)

bo’ladi.

(*) , (13) formulaga ko’ra (11) , (12) masalaning yechimi quydagi formuladan

(14)

topiladi.

2-misol. Quyidagi

(15)

(16)

Shturm –Liuvill masalasiga teng kuchli integral tenglamani toping .

Yechish. tenglamaning noldan farqli (16) ning shartlarini qanoatlantiruvchi yechimlari

(17)

funksiyalardan iborat . (1) va (15) tenglamalarga asosan

(9) ga ko’ra esa

ga ega . Demak, Bundan va (7) formulaga asosan (11) , (12) masalaning Grin funksiyasi quydagi ko’rinishda

(18)

bo’ladi .

(10) va (18) formulalarga asosan (15) (16) masalaning yechimi quyidagi integral tenglamaga

teng kuchli bo’ladi, bu yerda -funksiya (18) formula orqali aniqlanadi.

3-misol. Quyidagi

(19)

(20)

masalaning Grin funksiyasini tuzing va uning yechimini toping.

Yechish. tenglamaning noldan farqli (20) ning shartlarini qanoatlantiruvchi yechimlari

va (21)

funksiyalardan iborat .(1) va (19) tenglamalarga asosan . (9) ko’ra esa ga ega . Demak , Bundan va (7) formulaga asosan (19), (20) masalaning Grin funksiyasi quydagi ko’rinishda

bo’ladi. (22)

(*) , (22) formulalarga asosan (19) va (20) masalaning yechimi quyidagi formuladan topiladi :

Мисол 1.

2.

2.

Chegaraviy masala uchun Grin funksiyasini tuzing.

Misol -2

Chegaraviy masala uchun Grin funksiyasini tuzing.