1-ma`ruza. Мavzu: Evklid fazosida topologiya. Metrik fazolar

1-MA`RUZA.

Мavzu: Evklid fazosida topologiya. Metrik fazolar (2 соат)

Mavzu rejasi:

1.1. Evklid fazosida topologiya

1.2. Ochiq va yopiq túplamlarning asosiy xossalari

1.3. Metrik fazolar

1.4. Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar

1.1.Evklid fazosida topologiya

Haqiyqiy sonlar tóplamini bilan belgilaymiz va uchin

tóplamda va nuqtalari orasidagi masofani

formula bilan aniqlaymiz. Bu kiritilgan funktsiya quyidagi shartlarni qanoatlandiradi.

1) musbat aniqlangan:ixtiyariy juftlik uchin bólib, bolishi uchin x = y munosabatining bajarilishi zarur va etarlidir.

2. 
   simmetrik funktsiyadir: ixtiyariy x, y juftlik uchin d(x, y) = d(y, x) munosabati ópinli.
   
3. 
   uchburchak tengsizligin qanoatlandiradi: ixtiyariy x, y, z uchta nuqta uchin d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) tengsizlik bajariladi.
   

Yuqorida d(x, y) funktsiyaning 1, 2-shartlarni qanoatlantirishi ravshan. Bu shartlarning uchinchisi sizga matematik analiz kursidan maʼlum boʼlgan

Koshi tengsizligidan kelib chiqadi(teksherib koring).

Agar nuqtalar uchin belgilashlar kiritsak, Koshi tengsizligidan tengsizlik kelib chiqadi.Kiritilgan d funktsiya bilan metric fazo bóladi.

Evklid fazoda berilgan x nuqta va r>0 soni uchin

tóplam markazi x nuqtada va radiysi r ga teng ochiq shar deb,

tóplam esa markazi x nuqtada va radiysi r ga teng yopiq shar deb ataladi.

Sonlar uqida ,yani da ochiq shar ochiq interval, yopiq shar esa yopiq kesma bóladi.

Endi ochiq shar yordamida da ochiq toʼplam tushunchasini kiritamiz. Berilgan A toʼplam va unga tegishli a nuqta uchun r > 0 soni mavjud boʼlib boʼlsa, a nuqta A toʼplamning ichki nuqtasi deyiladi. Hamma nuqtalari ichki nuqtalar boʼlgan toʼplam ochiq toʼplam deb ataladi. Demak, har qanday ochiq shar ochiq toʼplam boʼladi, chunki x∈ B_r (a) boʼlsa, soni uchun B_rx ⊂ B_r (a) boʼladi. Haqiqatan bólsa, yoni , demak bóladi.

Bósh tóplamni deb belgilab,uni ning ochiq qism tóplami deb qabul qilamiz.Shunda ochiq qism tóplamlar uchinquyidagi teoremani isbotlay olamiz: