1-ma`ruza. Мavzu: Evklid fazosida topologiya. Metrik fazolar

Teorema 1.1 (M,ρ ) metrik fazo bo’lsin, u holda

1. U ⊂ M to’plamning ochiq bo’lishi uchun M\U ning yopiq bo’lishi zarur va yetarlidir .

2. bo’lishi uchun x nuqtaning ixtiyoriy V atrofi uchun shunday ∈ N son topilib,barcha n> uchun bulishi zarur va yetarlidir.

3. Ixtiyoriy to’plamning ichki nuqtalari to’plami ochik to’plamdir.

4. E to’plamga uning barcha limitik nuqtalarini qo’shishdan hosil bo’lgan to’plam

yopiqdir. Bu to’plam E to’plamning yopig’i deyiladi va kabi belgilanadi.

5. V ⊂ M to’plamning ochiq bo’lishi uchun V ning har bir nuqtasi ichki nuqta bo’lishi zarur va yetarlidir.

6. Metrik fazodagi ixtiyoriy sondagi ochiq to’plamlarning yigindisi yana ochiq to’plam,chekli sondagi ochiq to’plamlarning kesishmasi yana ochiq to’plam bo’ladi.

7. Metrik fazodagi ixtiyoriy sondagi yopiq to’plamlarning kesishmasi yana yopiq

to’plamdir.

Isboti: (1) V ⊂ M ochiq to’plam bo’lsin. U holda ∀x ∈U uchun ∃r > 0,B(x,r)⊂U

bo’ladi. Demak B(x,r)∩(M \U) = ya’ni x nuqta M \U to’plam uchun limitik nuqta bo’la olmaydi. Shu sababli M \U ning barcha limitik nuqtalari o’ziga tegishlidir, ya’ni M \U to’plam yopiq to’plamdir.

Endi M \U to’plam yopiq bo’lsin, ya’ni M \U o’zining barcha limitik nuqtalarini saqlaydi ya’ni ∀x ∈U nuqta M \U uchun limitik nuqta emas, demak ∃r > 0

B(x,r)∩(M \U) = , bu yerdan esa B(x,r)⊂U ekanligi kelib chiqadi, ya’ni U ochiq to’plam ekan.

Teoremaning qolgan bandlarini isbotlash talabaga xavola etiladi.

Savollar.

1. Metrik fazo ta’rifini ayting.

2. Metrik fazoda yaqinlashuvchi ketma -ketlikka misol keltiring.

3. To’la metrik fazo ta’rifini ayting va misollar keltiring.

4. To’plam ochiq to’plam bo’lishining zarur va yetarli shartini ayting.

5. Metrik fazodagi ochiq va yopiq to’plamlar xossalarini ayting.