1-ma`ruza. Мavzu: Evklid fazosida topologiya. Metrik fazolar

1.2. Ochiq va yopiq túplamlarning asosiy xossalari

Teorema1. Ochiq qism toʼplamlar uchun quyidagilar oʼrinlidir.

1. Butun fazo, yaʼni ochiq toʼplamdir.

2. Boʼsh toʼplam ochiq toʼplamdir.

3. Chekli sondagi ochiq qism toʼplamlarning kesishmasi (umumiy qismi) ochiq toʼplamdir.

4. Har qanday ochiq toʼplamlar oilasi uchun bu oiladagi ochiq toʼplamlar yigʼindisi ochiq toʼplamdir.

Isbot. Teoremaning ikkinchi tasdigʼi isbot talab qilmaydi, chunki boʼsh

toʼplamni ochiq toʼplam deb eʼlon kilganmiz. Аgar a∈ Rⁿ boʼlsa, ixtiyoriy r > 0 soni uchun B_r (a) ⊂ Rⁿ munosabat har doim oʼrinli, shuning uchun ham ochiq toʼplamdir.

Endi A₁ , A₂ ,..., A_m ochiq toʼplamlar berilgan boʼlsa, toʼplamning ochiq ekanligini koʼrsataylik. Аgar boʼlsa, ikkinchi punktga koʼra A ochiq toʼplam boʼladi. Shuning uchun deb faraz qilib, A ga tegishli ixtiyoriy a nuqtaning ichki nuqta ekanligini koʼrsataylik. Аgar a∈ A boʼlsa, unda a∈ A_i munosabat barcha i lar uchun bajariladi.

Har bir A_i ochiq toʼplam boʼlganligi uchun shunday r_i > 0 soni mavjudki,

B_ri (a) ⊂ A_i munosabat bajariladi. Bu chekli sondagi r_i sonlarining eng kichigini r bilan belgilasak, B_r (a) ⊂ B_ri (a) ⊂ A_i munosabat bajariladi. Demak B_r (a) ⊂ A, va a nuqta A toʼplamning ichki nuqtasidir. Endi teoremaning 4-punktini isbotlaylik. Ochiq toʼplamlardan iborat { A_α }oila berilgan boʼlsin. yigʼindining ochiq toʼplam ekanligini koʼrsataylik. Buning uchun A toʼplamga tegishli ixtiyoriy a nuqta olib, uning ichki nuqta ekanligini koʼrsatamiz. Yigʼindiga tegishli a nuqta yigʼindida qatnashayotgan A_α toʼplamlarning kamida birortasiga tegishli boʼladi. Faraz qilaylik boʼlsin. toʼplam ochiq boʼlganligi uchun birorta r > 0 mavjud boʼlib, munosabat bajariladi. Demak B_r (a) ⊂ A va A toʼplam uchun a ichki nuqta boʼladi. Bundan esa, A ning ochiq toʼplam ekanligi kelib chiqadi.

Endi ochiq toʼplam tushunchasidan foydalanib, yopiq toʼplam tushunchasini kiritamiz. Berilgan F toʼplamning toʼldiruvchisi ochiq toʼplam boʼlsa, F yopiq toʼplam deb ataladi. Birinchi teoremadan foydalanib, yopiq toʼplamlar uchun quyidagi teoremani isbotlash mumkin.

Teorema-2. Yopiq qism toʼplamlar uchun quyidagilar oʼrinlidir.

1. Butun fazo, yaʼni yopiq toʼplamdir.

2. Boʼsh toʼplam yopiq toʼplamdir.

3. Har qanday yopiq qism toʼplamlar oilasi uchun shu oiladagi toʼplamlar kesishmasi yopiq toʼplamdir.

4. Chekli sondagi yopiq toʼplamlarning yigʼindisi yopiq toʼplamdir

Biz fazoning elementlari uchun

qoidalar bilan yangi elementlarni aniqlashimiz mumkin. Bu yerda haqiqiy son. Bu kiritilgan amallarga nisbatan chiziqli fazo boʼladi . Bu holda ni chiziqli fazo sifatida qarasak, uning elementini vektor deb ataymiz. Chiziqli fazo uchun belgilashni oʼzgartirmaymiz, chunki har gal tekst mazmunidan ning metrik fazo yoki chiziqli fazo ekanligi koʼrinib turadi. Metrik fazo nuqtalarining har bir x, y juftiga boshi x nuqtada,oxiri esa y nuqtada boʼlgan vektorni mos qoʼysak, bu vektor chiziqli fazoning elementi boʼladi. Chiziqli fazoda skalyar koʼpaytma kiritilgandan keyin metrik fazoni Evklid fazosi deb ataymiz. Demak, fazoni Evklid fazosi deganimizda, unda d funktsiya yordamida metrika kiritilib, unga tegishli nuqtalarning har bir juftiga mos qoʼyilgan vektorlar fazosida skalyar qoʼpaytma kiritilgandir.

Evklid fazosida

koʼrinishdagi almashtirishda matritsaning determinanti noldan farqli boʼlsa, u affin almashtirish deb ataladi. Bu yerda

belgilashlarni hisobga olib affin almashtirishni kórinishda yozishimiz mumkin. Agar A matritsa ortogonal matritsa bólsa, F akslantirish harakat deb ataladi. Málumki, A ortogonal matritsa bólsa, , vektorlar uchin

tenglik oʼrinlidir, yaʼni harakatda skalyar koʼpaytma saqlanadi. Haqiqatan, A ortogonal matritsa boʼlsa

munosabat oʼrinli boʼladi. Bu yerda transponirlangan matritsa, E esa birlik matritsadir. Shuning uchun

tenglikni hosil qilamiz. Bizga analitik geometriya kursidan maʼlumki harakat ikki nuqta orasidagi masofani saqlaydi. Аgar boʼlsa, maʼlumki F harakat fazoda orientatsiyani ham saqlaydi.