Muhandislik grafikasi va kompyuterda loyihalash

8-§. Proyeksiyalar tekisligiga perpendikulyar o’q atrofida aylantirish
1. Nuqtani aylantirish. Har qanday shaklniig asosiy elementi nuqta, shuning uchun aylantirishni nuqtadan boshlaymiz va aylanish prosessida nuqta proyeksiyalarining qanday harakat qilishini ko’rib chiqamiz.
9-rasmda A nuqtani V tekislikka perpendikulyar o’q (JJ) at­rofida aylantirish tasvirlangan. Nuqta o’q atrofida radiusi R=AO bo’lgan aylana bo’yicha harakat qiladi. Bu aylananing tekis­ligi QJJ, shuning uchun aylananing frontal proyeksiyasi o’ziga teng, gorizontal proyeksiyasi OX proyeksiyalar o’qiga parallel to’g’ri chiziq kesmasi bo’ladi va u Q tekislikning gorizontal iziga tushadi. Agar A nuqta φ burchakka aylantirilib, yangi vaziyatga keltirilsa, uning frontal proyeksiyasi (A″) ham o’sha φ burchakka aylanib, A″₁ nuqtaga, gorizontal proyeksiyasi esa A′ dan A′₁ nuqtaga keladi. 9-rasmning o’ng tomonida A nuqta proyeksiyalarining epyurda harakat qilishi ko’rsatilgan.

9-rasm. 10-rasm.
Shunday yilib, nuqta V tekislikka perpendikulyar o’q atrofida aylantirilganda, nuqtaning frontal proyeksiyasi markazi aylantirish o’qining frontal proyeksiyasida bo’lgan aylana bo’yicha, gorizontal proyeksiyasi esa aylantirish o’qining gorizontal proyeksiyasiga per­pendikulyar (ya’ni OX ga parallel) to’g’ri chiziq bo’yicha harakat qiladi.
Xuddi shunga o’xshash, nuqta H tekislikka perpendikulyar o’q atrofida aylantirilganda tubandagi xulosani chiqarish mumkin:
Nuqta H tekislikka perpendikulyar o’q atrofida aylantiril­ganda, nuqtaning gorizontal proyeksiyasi markazi aylantirish o’qining gorizontal proyeksiyasida bo’lgan aylana bo’yicha, frontal proyek­siyasi esa aylantirish o’qining frontal proyeksiyasiga perpendikulyar (ya’ni OX ga parallel) to’g’ri chiziq bo’yicha harakat qiladi (10-rasm).
Bu qoidalarni tushunib olgandan keyin, to’g’ri chiziq, tekislik yoki shakllarning fazoda aylantirgandan keyingi vaziyatdagi yangi proyeksiyalarini ularning oldingi (berilgan) proyeksiyalari bo’yicha epyurda yasash qiyin emas.
2. Umumiy vaziyatdagi to’g’ri chiziqni xususiy vaziyatga keltirish. Ko’pgina masalalarni yechishda umumiy vaziyatdagi to’g’ri chiziq kesmasi xususiy vaziyatga (proyeksiya tekisliklaridan biriga parallel yoki perpendikulyar vaziyatga) keltirilsa, masalani yechish osonlashadi. Bunda aylantirish o’qini to’g’ri tanlab olish (agar bu o’q berilmagan bo’lsa) va aylantirish burchagini belgilash masalaning osonroq yechilishi uchun eng muhim shartdir.
11-rasmda umumiy vaziyatdagi AB kesmani aylantirib, H tekislikka parallel vaziyatga keltirish tasvirlangan. Aylantirish o’qini kesmaning biror uchidan, masalan, A nuqtadan o’tkazib olish ma’qulroq bo’ladi. Shunday qilganda bu A nuqta o’qda bo’lgani uchun o’z o’rnini o’zgartirmaydi, faqat ikkinchi B nuqtaning yangi proyeksiyalarini topish kerak bo’ladi.

11-rasm. 12-rasm.
Shunday qilib, aylantirish o’qini A nuqtadan o’tadigan va V tekislikka per­pendikulyar qilib olamiz. Bunday o’qning frontal proyeksiyasi nuqta bo’ladi va A″ ga to’g’ri keladi, gorizontal proyeksiyasi OX ga perpendikulyar to’g’ri chiziq bo’ladi va A′ dan o’tadi. Kesma H ga parallel vaziyatga kelganda uning frontal proyek­siyasi OX ga parallel bo’ladi. Shuning uchun kesmaning frontal proyeksiyasini A″ atrofida A″B″ radiusi bilan aylantirib, A″B″ || OX va­ziyatga keltiramiz. B nuqtaning gorizontal proyeksiyasi OX ga paral­lel to’g’ri chiziq bo’yicha surilib, B′₁ nuqtaga keladi. Hosil bo’lgan A″B″₁ va A′B′₁ berilgan AB kesmaning H tekislikka parallel vaziyatga keltirilgandagi yangi proyeksiyalaridir.
Kesmani bu o’q atrofida aylantirib, yana W tekislikka parallel vaziyatga keltirish mumkin (buning uchun A″B″₁OX bo’lishi kerak) lekin uni proyeksiya tekisliklaridan hyech biriga perpendikulyar vaziyatga keltirib bo’lmaydi, chunki bu aylantirish bilan uning V tekislikka qiyaligini o’zgartirib bo’lmaydi.
Shunday qilib, bitta o’q atrofida aylantirish yo’li bilan umu­miy vaziyatdagi to’g’ri chiziq kesmasini faqat aylantirish o’qi parallel bo’lgan proyeksiyalar tekisligigagina parallel vaziyatga keltirish mumkin. Masalan, o’q V ga perpendikulyar bo’lsa, H ga va W ga parallel bo’ladi, bunday o’q atrofida AB kesmani anlantirib H ga yoki W ga parallel vaziyatga keltirish mumkin. Bu usul kesmaning haqiqiy o’zunligini, unig proyeksiya tekisliklariga qiyalik burchaklarini topish va shularga o’xshash masalalarni yechish uchun qo’llaniladi. 11-rasmda AB kesmaning o’zunligi (AB=A′B′₁) va V ga qiyalik burchagi (β) topilgan.
Umumiy vaziyatdagi to’g’ri chiziq kesmasini proyeksiyalar tekisliklaridan biriga perpendikulyar vaziyatga keltirish uchun uni ikki o’q atrofida ketma-ket ikki marta aylantirish kerak. 12-rasmda umumiy vaziyatdagi AB kesmani V tekislikka perpendikulyar vaziyatga keltirish tasvirlangan. Buning uchun kesma birinchi marta V ga perpendikulyar va kesmaning A uchidan o’tgan o’q atrofida aylantirib, H tekislikka parallel vaziyatga keltirilgan (A″B″₁; A′B′₁). Ikkinchi aylantirish o’qi kesmaning davomidagi nuqtadan o’tgan va H tekislikka perpendikulyardir; bu o’qning gorizontal proyeksiyasi (i₂) atrofida kesmaning gorizontal proyeksiyasi (A′B′₁) ni aylantirib, OX o’qiga perpendikulyar (A′₂B′₂OX) vaziyatga keltirsak, kesmaning frontal proyeksiyasi (A″₂B″₂) bir nuqtaga kelib qoladi, demak, AB kesma V ga perpendikulyar bo’lib qoldi.
3. Umumiy vaziyatdagi tekislikni proyeksiyalov­chi vaziyatga keltirish. Izlari orqali tasvirlangan umumiy vaziyatdagi biror P tekislikni proyeksiyalar tekisliklaridan biriga, masalan, V tekislikka perpendikulyar holga keltirish uchun uni fazoda shunday aylantirish kerakki, gorizontal izi (agar tekislik V ga perpendikulyar turishi lozim bo’lsa) OX o’qiga perpendikulyar bo’lib qolsin.
13-rasm, a da izlari orqali berilgan P tekislikni aylanti­rib, V ga proyeksiyalovchi vaziyatga keltirish ko’rsatilgan. Masalani osonlashtirish maqsadida aylantirish o’qi (JJ) frontal proyeksiyalar tekisligida olingan, shuning uchun o’q P_V izni N″ nuqtada kesadi. Bu nuqta tekislik JJ o’q atrofida aylantirilganda o’z o’rnini o’zgartirmaydi. Tekislikning gorizontal izini OX o’qiga perpendi­kulyar qilib qo’yish uchun aylantirish o’qining gorizontal proyeksiya­si (i′) dan P_H ga perpendikulyar tushiramiz (i′M′P_H) va bu perpendikulyarni P_H bilan birgalikda to OX o’qiga kelguncha aylantiramiz. Shunda M′ nuqta M′₁ ga keladi va P_H iz talab qilingan P_H1 vaziyatni oladi (P_H1OX). Qo’zg’almas N″ nuqtani M′₁ nuqta bilan tutashtirib, yangi frontal iz (P_V1) ni topamiz.
Agar aylantirish o’qi V tekislikda yotmagan bo’lsa, yangi P_V1 izni tekislikning aylantirish o’qi bilan kesishgan gorizontalidan foydalanib topish mumkin. P_V1 gorizontalning yangi (aylantirilgandan keyingi) frontal izi N′₁ nuqtadan o’tadi (13-rasm, b).
Umumiy vaziyatdagi tekislikni H tekislikka perpendikulyar o’q atrofida aylantirib, W tekislikka ham perpendikulyar holga kel­tirish mumkin.

13-rasm. 14-rasm.
14-rasmda izlari (P_V, P_H) bilan berilgan umumiy vaziyatdagi tekislikni H tekislikka perpendikulyar o’q (i″i′) atrofida aylan­tirib, W ga perpendikulyar holga keltirish ko’rsatilgan. Tekislik­ning aylantirilgandan keyingi gorizontal izi P_H1 ni yasash rasmning o’zidan tushunarli (rasmda: i′M′P_H; i′M′₁OX; P_H1 ‌|| OX. Tekislikning aylantirilgandan keyingi frontal izi (P_V1) ni aniqlash uchun oldin aylantirish o’qi bilan P tekislikning kesishgan nuqtasi topiladi. Bu nuqtaning gorizontal proyeksiyasi (K′) ay­lantirish o’qining gorizontal proyeksiyasida bo’ladi (K′≡i′) fron­tal proyeksiyasi K″ ni tekislikning gorizontali yoki frontalidan foydalanib topish qulay. Rasmda K″ nuqta tekislikning frontali (N′K′, P″K″) yordamida topilgan. O’q bilan tekislikning ke­sishgan nuqtasi ko’zg’almas nuqta, shuning uchun bu nuqta P_H1 izda olingan birorta nuqta (1′, 1″)’ bilan ulansa, shu tekislikning chizig’i (K′L′, K″L″) hosil bo’ladi.
Izlangan P_V1 iz bu chiziqning frontal izi 2″ nuqtadan o’tadi.
Tekislikni aylantirish uchun umuman uning birorta to’g’ri chi­zig’i (izi) lozim bo’lgan burchakka aylantirilsa kifoya. Tekis­likning aylantirilgandan keyingi vaziyati shu chizig’i (izi) va o’q bilan tekislikning kesishgan qo’zg’almas nuqtasi orqali to’la aniqlanadi.
Ma’lumki, tekislikning gorizontal izi uning gorizontallariga, frontal izi frontallariga parallel bo’ladi. Shuning uchun tekis­lik izlari orqali emas, balki boshqacha usul bilan berilgan bo’lsa, uning izlari o’rniga gorizontallari va frontallari olinishi mumkin.
1 5-rasmda ABC uchburchakni V tekislikka perpendikulyar vaziyat­ga keltirish ko’rsatilgan.
Uchburchakda gorizontal (CD) o’tkazamiz va uning gorizontal proyeksiyasini φ burchakka, ya’ni OX o’qiga perpendikulyar vaziyatga kelguncha aylantiramiz (C′D′₁OX). Aylantirish o’qi uchburchakning C uchidan o’tgan va H ga perpendikulyardir. Uchburchakning A va B uchlarini ham φ burchakka (φ=D′C′D′₁) aylantirsak, uchburchakning V ga perpendikulyar vaziyatga keltirilgandagi yangi proyeksiyalari (A′₁B′₁C′₁ va A″₁B″₁S″₁) hosil bo’ladi.
T
15-rasm.
ekislikni proyeksiyalovchi vaziyatga keltirish yo’li bilan uning H ga yoki V ga qiyalik burchagini topish (13 va 15-rasmlarda berilgan tekislik bilan H proeksiyalar tekisligi orasidagi α burchak topilgan), nuqtadan tekislikkacha bo’lgan masofani, parallel tekisliklar orasidagi masofani, nuqtadan to’g’ri chiziqgacha bo’lgan masofani, to’g’ri chiziq bilan tekislikning kesishuv nuqtasini aniqlash mumkin. Bu masalalarni yechishda aylantirish yo’nalishi ixtiyoriy olinadi, lekin bunda tekis­lik bilan birga, berilgan hamma elementlarni o’sha tomonga va o’sha φ burchakka aylantirish kerak bo’ladi.
Tekis shaklni pro­yeksiyalar tekisliklaridan biriga parallel vaziyat­ga kelguncha aylantirish. Umumiy vaziyatdagi tekis shakl­ni (uning haqiqiy ko’rinishini, burchaklarini, bissektrisalarini va shu kabilarini yasash maqsadida) proyeksiya tekisliklaridan biriga parallel vaziyatga kelti­rish uchun H va V tekisliklarga perpendikulyar bo’lgan ikki o’q atrofida ketma-ket ikki marta aylantirish kerak. Birinchi mar­ta, masalan, H ga perpendikulyar o’q atrofida aylantirib, shaklni V ga perpendikulyar vaziyatga keltiramiz (15-rasm). Ikkinchi marta shaklni V ga perpendikulyar atrofida aylantirib, H ga parallel vaziyatga keltiramiz (16-rasm).

16-rasm.
16-rasmda birinchi aylantirish o’qi H ga perpendikulyar va uchburchakning C uchidan o’tgan, ikkinchi aylantirish o’qi V ga per­pendikulyar va uchburchakning B uchidan o’tgan. Epyurda bu aylanti­rish o’qlari ko’rsatilmagan, ular faqat faraz qilingan. Ikkinchi marta aylantirilgandan keyin uchburchakning frontal proyeksiyasi B″₁C″₁A″₁||OX vaziyatga kelgani uchun gorizontal proyeksiyasi (A′₂B′_lC′₂) o’ziga teng bo’ladi, demak, bu A′₂B′_lC′₂ proyeksiyada kerak bo’lgan yasashlarni bajarish mumkin.
Tekislikni o’z gorizontali yoki frontali atrofida aylantirish
T ekis shaklni uning gorizontali atrofida bir marta aylantirib, gorizontal proyeksiyalar tekisligiga parallel vaziyatga yoki frontali atrofida bir marta aylantirib, frontal proyeksiyalar tekisligiga parallel vaziyatga keltirish mumkin. Bunday usuldan, asosan, tekis shaklning haqiqiy ko’rinishini, uning elementlarini yasash uchun foydalaniladi.
B
17-rasm.
erilgan ABC uchburchakni aylantirib, H tekislikka pa­rallel vaziyatga keltirish lozim, deb faraz qilaylik (17-rasm). Uchburchakda AD gorizontal o’tkazamiz va uni aylantirish o’qi deb qabul qilamiz. Aylantirish o’qidagi hamma nuqtalar, shu jumladan, A va D nuqtalar aylantirishda o’z joylarini o’zgartirmaydi. Demak, uchburchakning yangi gorizontal proyeksiyasini yasash uchun, B va C uchlarining yangi vaziyatlarini topish kerak. Aylantirish o’qi H tekislikka parallel bo’lgani uchun, har bir nuqta ning gorizontal atrofida aylanishidan hosil bo’lgan aylana tekisligi o’qqa, demak, H ga ham perpendikulyar bo’ladi. Qisqacha qilib aytganda, har bir nuqta AD gorizontal atrofida gorizontal proyeksiyalovchi tekislik bo’yicha aylanadi, demak, nuqtaning gorizontal proyeksiyasi aylantirish o’qi (gorizontal) ning gorizontal proyeksiyasiga perpendikulyar to’g’ri chiziq bo’yicha, frontal proyeksiyasi esa ellips bo’yicha harakat qiladi.
Tekis shakl (bizning misolimizda ABC uchburchak) H ga parallel vaziyatga kelganda, undagi har bir nuqtaning radiusi H tekislikka o’z kattaligida proyeksiyalanadi, V tekislikdagi proyeksiyasi gorizontalning frontal proyeksiyasiga tushadi.
Yuqorida aytilganlarga binoan, berilgan ABC uchburchakni uning AD gorizontali atrofida aylantirib, H ga parallel vaziyatga keltirish uchun yasashni tubandagi tartibda bajaramiz:
1) uchburchakning B uchidan AD ga perpendikulyar tushiramiz (BOAD); 16-paragrafning ikkinchi punktiga binoan, epyurda B′OA′D′ bo’ladi, keyin O″ ni topib, uni B″ bilan tutashtiramiz;
2) B nuqta uchun uning proyeksiyalari (B′O′, B″O″) asosida to’g’ri burchakli uchburchak yasab, aylantirish radiusining haqiqiy o’zunligini topamiz (R_B = OB₁);
3) B nuqtani aylantirish markazining gorizontal proyeksiyasi (O′) dan A′D′ ga perpendikulyar yo’nalish bo’yicha O′B₁=R_B kesmani qo’yib, B′₁ ni topamiz (O′B′₁=R_B);
4) C nuqtaning yangi gorizontal proyeksiyasi (C′₁) ni uning aylantirilish radiusini yasamay, B′₁D′ chiziqiing davomi bilan C′ dan A′D′ ga tushirilgan perpendikulyarning kesishuv joyida topsa ham bo’ladi.
Yasalgan yangi gorizontal proyeksiya (A′B′₁C′₁) ABC uchburchakning haqiqiy kattaligiga teng.