Muhandislik grafikasi va kompyuterda loyihalash

Frontal proyeksiyalar tekisligini almashtirish
1-rasm, a da H va V tekisliklar sistemasida A nuqtaning tasviri berilgan. V tekislikni V₁ tekislikka almashtirish va A nuqtaning V₁ dagi A″₁ proyeksiyasini yasash kerak.
V₁ tekislik H ga perpendikulyar (gorizontal proyeksiyalovchi) qilib olinadi, bu tekislik yangi frontal proyeksiyalar tekisligi deyiladi. Uning gorizontal izi yangi proyeksiyalar o’qi deb qabul qilinadi va O₁X₁ bilan belgilanadi. A nuqtaning V₁ tekislikdagi, A″₁ proyeksiyasi yangi frontal proyeksiya deyiladi.

1-rasm.
V₁ tekislik N ga perpendikulyar qilib olinganligi sababli, V ga nisbatan qanday vaziyatda joylashuvidan qat’i nazar, A puqtadan H gacha bo’lgan masofa (applikata z) o’zgarmaydi. Yangi fron­tal A″₁ proyeksiyani yasash uchun fazoda A nuqtadan V₁ tekislikka perpendikulyar tushirish kerak (AA″₁V₁). V₁H va AA′ || A″₁A_X1 bo’lgani uchun, AA′A_X1A″₁ to’g’ri turtburchak, demak, A″A_Xi = AA′ = A_x A″ = z bo’ladi. Bu hol istalgan nuqta uchun ham yaroqlidir.
Shunday qilib, V tekislik V_l tekislikka almashtirilganda nuktaning yangi frontal proyeksiyasidan yangi proyeksiyalar o’qigacha bo’lgan masofa o’sha nuqtaning eski frontal proyeksiyasidan eski proyeksiyalar o’qigacha bo’lgan masofaga teng bo’ladi (A″₁A_X1 = A″A_X ).
Fazoviy ko’rinishdan epyurga o’tish uchun V₁ tekislik O₁X₁ o’qi atrofida aylantirilib, H tekislikka joylashtiriladi. Shunday qilinganda nuqtaning yangi frontal proyeksiyasi (A″₁) ham aylanib borib, N tekislikka joylashadi va eski gorizontal proyeksiya (A′) bilan ikkalasi yangi O₁X₁ o’qga perpendikulyar bir to’g’ri chiziqda bo’lib qoladi.
Bu yerda shuni ham aytib o’tish kerakki, V₁ tekislikdan A nuqtagacha bo’lgan masofa (AA″₁ = A′A_X1) ixtiyoriy bo’lishi va V₁ tekislik nuqtaning istalgan tomonida olinishi mumkin. Eski VN sistemada berilgan A nuqta uchun ordinata y=AA″=AA_X1 bo’lsa, yangi V₁H sistemada nuqtaning ordinatasi boshqa, ya’ni y₁ = AA″₁ = A_X1A′ bo’ladi, applikatasi (z) esa o’zgarmaydi.
1-rasm, b da nuqtaning VN sistemada berilgan (A′, A″) proyeksiyalari bo’yicha uning V₁H sistemadagi proyekpiyalarini epyurda yasash ko’rsatilgan. Buning uchun nuqtaning gorizontal proyek­siyasi (A′) orqali O₁X₁ o’qiga nisbatan perpendikulyar o’tkazilgan va unda A_X1A″₁=A_XA″=z masofani qo’yib, yangi frontal proyeksiya (A″) topilgan. Hosil bo’lgan (A′, A″) lar nuqtaning V₁N sistemadagi yangi ortogonal proyeksiyalaridir.
Gorizontal proyeksiyalar tekisligini almashtirish
2-rasm, a da A nuqta uchun gorizontal proyeksiyalar tekisli­gi N ni N₁ tekislikka almashtirishning fazoviy sxemasi ko’rsatilgan. N₁ tekislik V ga perpendikulyar (frontal proyeksiyalovchi) bo’lgani uchun u, shartli suratda, yangi gorizontal proyeksiyalar te­kisligi deyiladi. H₁ tekislikning frontal izi (O₁X₁) yangi proyek­siyalar o’qi deyiladi. Epyur hosil qilish uchun N₁ tekislik O₁X₁ atrofida aylantirilib, V tekislikka jipslashtiriladi. H₁ bilan birga nuqtaning yangi gorizontal proyeksiyasi (A′₁) ham aylanib borib, V tekislikka tushadi va eski frontal proyeksiya (A″) bilan ikkalasi O₁X₁ o’qiga perpendikulyar bir to’g’ri chiziqda bo’lib qoladi.
Nuqtadan V tekislikgacha bo’lgan masofa (ordinata y) o’zgarmay­di (A′₁A_Xl = AA″ = A′A_X = y).
Nuqtaning yangi applikatasi z₁ = AA′₁ = A″A_X1 bo’lib qoladi.
Shunday qilib, H tekislik H₁ tekislikka almashtirilganda nuqtaning yangi gorizontal proyeksiyasidan yangi proyeksiyalar o’qi­gacha bo’lgan masofa o’sha nuqtaning oldingi (eski) gorizontal proyekpiyasidan oldingi proyeksiyalar o’qigacha bo’lgan masofaga teng, ya’ni A′₁A_X1 = A′A_X = y bo’ladi. Shunga binoan, epyurda O₁X₁ ma’lum bo’lsa, nuqtaning yangi gorizontal proyeksiyasi (A′₁) ni yasash uchun A″ dan O₁X₁ ga perpendikulyar tushirish va unda A_X1A′₁=A_XA′ kesmani o’lchab qo’yish kerak (2-rasm, b).

2-rasm.
Proyeksiyalar tekisliklariniig ikkalasini ketma-ket almashtirish
A nuqtaning VH sistemadagi proyeksiyalaridan foydalanib, uning butunlay yangi V_lH₁ sistemadagi proyeksiyalarini yasash zarur bo’lsin (3-rasm). Masalaning shartiga qarab, dastlab O₁X₁ o’qi chiziladi va tekisliklardan biri, masalan, V tekislik V₁ ga almashtiriladi.

3-rasm.
Buning uchun A′ orqali O₁X₁ o’qiga perpendikulyar o’tkaziladi va unda A_X1 A″₁ = A_X A″ = z masofa qo’yilib, A″₁ topiladi. Shunday qilib, berilgan sistemadan V₁H sistemaga o’tiladi. Keyin O₂X₂ proyeksiyalar o’qi chiziladi va H tekislik yangi H₁ tekislikka almashtiriladi. Buning uchun nuqtaning yangi frontal proyeksiyasi (A″₁) dan O₂X₂ o’qiga perpendikulyar tushiriladi va unda A_X2A₁ = A_X1A′ = y₁ masofa qo’yilib, A′₁ topiladi. Shy yo’l bilan V₁H sistemadan butunlay yangi V_lH₁ sistemaga ko’chiladi; hosil bo’lgan (A′₁, A″₁) nuqtaning yangi ortogonal proyeksiyalaridir. Bu yangi sistemada nuqtaning koordinatalari ham yangi: ordinatasi y₁= A′₁A_X2 va applikatasi z₁=A″₁A_X2 bo’lib qoladi.


Proyeksiya tekisliklarini almashtirish usuli bilan yechiladigan asosiy masalalar
Epyurda yangi proyeksiyalar tekisligining vaziyati yangi proyek­siyalar o’qining vaziyati bilan to’la aniqlanadi; tekislikning ikkinchi izi ko’rsatilmaydi. Yangi proyeksiyalar o’qining yo’nalishi har qaysi masalaning shartiga qarab belgilanadi. Proyeksiya tekislik­larini almashtirish usuli bilan yechiladigan hamma masalalarni guruhlarga bo’lish mumkin. Guruhlardan har biri tubandagi yasashlardan birining bajarilishini talab qiladi, ya’ni proyeksiya tekisliklari sistemasi shunday almashtirilishi kerakki:
1) berilgan to’g’ri chiziq yangi sistemada xususiy holdagi to’g’ri chiziq (gorizontal yoki frontal) bo’lib qolishi;
2) izlari bilan berilgan tekislik yangi sistemadagi proyeksiya tekisliklaridan biriga proyeksiyalovchi bo’lib qolishi;
3) berilgan umumiy vaziyatdagi to’g’ri chiziq yangi sistemada proyeksiyalovchi to’g’ri chiziq bo’lib, uning bir proyeksiyasi nuqtaga aylanishi;
4) tekis shakl yangi tekislikka to’g’ri chiziq kesmasi tarzida proyeksiyalanishi;
5) berilgan tekis shaklning tekisligi yangi sistemadagi proyeksiya tekisliklaridan biriga parallel bo’lib qolishi lozim.
1-misol. Proyeksiya tekislik­laridan biri shunday almashtirilsinki, berilgan AB to’g’ri chiziq yangi sistemada frontal (yoki go­rizontal) bo’lib qolsin (4-rasm).
Ma’lumki, agar to’g’ri chiziq frontal proyeksiyalar tekisligiga parallel bo’lsa, uning gorizontal proyeksiyasi proyeksiyalar o’qiga parallel bo’ladi. Demak, V ni AB ga parallel V₁ tekislik­ka almashtirish uchun yangi O₁X₁ pro­yeksiyalar o’qini A′B′ ga parallel qilib o’tkazamiz; O₁X₁ bilan A′B′ orasidagi masofa ixtiyoriydir.
AB kesmaning yangi A″₁B″₁ proyeksiyasini yasash uchun A′ va B′ nuqtalardan O₁X₁ ga perpendikulyarlar o’tkazib, ular bo’yicha A_X1A″₁ = A_XA″ va B_X1B″₁ = B_X B″ kesmalarni o’lchab qo’yamiz.
Yangi V₁H sistemadagi proyeksiyalardan ko’rinib turibdiki, to’g’ri chiziq AB frontal bo’lib qoldi (AB || V₁). AB chiziqni gorizontal qilish uchun H ni H₁ ga almashtirish kerak.

4-rasm. 5-rasm.

Birinchi misoldagi yasashdan foydalanib:

AB kesmaning o’zunligini;
kesma bilan K tekislik orasidagi α burchakni;
nuqtadan to’g’ri chiziqgacha bo’lgan masofani topish mumkin (β burchakni topish uchun H ni H₁ ga almashtirish kerak).
Bu holda yangi tekislikka berilgan kesmani va nuqtani proyeksiyalash kerak, keyin nuqtadan chiziqga perpendikulyar tushirish uchun to’g’ri burchakni proyeksiyalash qoidasini tadbiq etish lozim.
2-misol. Proyeksiya tekisliklaridan biri shunday almashtirilsinki, berilgan R tekislik yangi tekislikka proyeksiyalovchi bo’lib qolsin (5-rasm).
Ma’lumki, tekislik, masalan, frontal proyeksiyalovchi bo’lsa, uning gorizontal izi proyeksiyalar o’qiga per­pendikulyar bo’ladi. Shunga ko’ra, Yangi O₁X₁ o’qini berilgan tekislikning gori­zontal iziga perpendikulyar (O₁X₁P_H) qilib, istalgan joydan o’tkazamiz. Shunday bo’lganda P_H o’z joyida qoladi, lekin izlarning uchrashuv nuqtasi yangi proyeksiyalar o’qidagi P_X1 nuqtada bo’ladi. Tekislikning V₁H sistemadagi yangi P_V1 izini yasash uchun uning eski P_V izida olingan ixtiyoriy (N″, N′) nuqtadan foydalanamiz. Bu nuqtaning yangi frontal proyeksiyasi (N″₁) P_X1 bilan tutashtirilsa, P_V1 hosil bo’ladi.
Ikkinchi misoldagi yasashdan foydalanib, quyidagilarni topish mumkin:
1) P tekislikning H ga qiyalik burchagi (α) ni va V ga qiyalik burchagi (β) ni (5-rasmda α burchak topilgan; β burchakni topish uchun V ni o’z joyida qoldirib, H tekislikni H₁ ga almashtirish kerak);
2) parallel tekisliklar orasidagi qisqa masofani;
3) tekislikdan unga parallel to’g’ri chiziqgacha bo’lgan masofani;
4) to’g’ri chiziq bilan tekislikning kesishuv nuqtasini;
5) nuqtadan tekislikgacha bo’lgan masofani;
6) sirtlarning tekis kesimlarini.