Muhandislik grafikasi va kompyuterda loyihalash

P_H topilgandan so’ng unga parallel qilib yordamchi kesuvchi tekisliklarning gorizontal izlari (Q_H, R_H, N_H ...) o’tkaziladi va, dastavval, izlangan nuqtalarning gorizontal proyeksiyalari, so’ngra ular bo’yicha nuqtalarning frontal proyeksiyalari topiladi.
Yuqorida ko’rib o’tilgan misollarning uchalasida ham sirtlar o’z vaziyatlariga qarab, tubandagi 4 xil chiziq bo’yicha bir-biri bilan kesishuvi mumkin:
1) ikkita alohida egri chiziq bo’yicha (10-rasm, a) masalan, a va b-rasmlardagi sirtlar;
2) bir egri chiziq bo’yicha (10-rasm, b), bu sirtlar o’zaro qisman kesishgan; masalan, 7-rasm, a va b lar, 9-rasm, a va b lardagi sirtlar;
3) bir umumiy nuqtali ikki egri chiziq bo’yicha (10-rasm, c ), bu sirtlar ichki tomonidan bir-biriga bir taraflama urinma bo’lib kesishgan; bunga misol qilib, 11-rasmda tasvirlangan og’ma prizma bilan og’ma konusning kesishuvini ko’rsatish mumkin; bu sirtlar bir umumiy (15′, 15″) nuqtali ikki chiziq bo’yicha kesishgan;
4) ikki umumiy nuqtaga ega bo’lgan ikki egri chiziq bo’yicha (10-rasm, d), bu sirtlar bir-biriga ikki taraflama urinma bo’lib kesishgan; bunga misol qilib, 12-rasmda tasvirlangan og’ma prizma bilan og’ma silindrning kesishuv chiziqlarini ko’rsatish mumkin (1′, 1″ va 2′, 2″ umumiy nuqtalar).

10-rasm.
O’qlari kesishgan aylanish sirtlarining kesishuv chizig’ini yordamchi sferalar vositasi bilan yasash
O’qlari kesishgan aylanish sirtlarining o’zaro kesishuv chizigini yasash uchun, ba’zi hollarda, yordamchi kesuvchi tekisliklar o’rniga, yordamchi aferalardan fondalanilsa, masalani hal qilish birmuncha osonlashadi.

13-rasm.
Bu usul tubandagi holga asoslangan: agar har qanday aylanish sirtining o’qi sferaning markazidan o’tgan bo’lsa, bu sirt sfera bi­lan aylanalar bo’yicha kesishadi. Bu aylanalarning tekisliklari aylanish sirtining o’qiga perpendikulyar bo’ladi. 13-rasmda o’qlari sferaning markazidan o’tgan doiraviy silindrning, doiraviy konusning va aylanish ellipsoidining sfera bilan kesishuvi tasvirlangan. Epyurdagi 1″2″ va 3″4″ kesmalar aylanalarning frontal proyeksiyalaridir.
14-rasmdagi misolda kesik doiraviy konus bilan yasovchisi egri chiziq bo’lgan aylanish sirtining kesishuv chizig’ini yordamchi sferalar usuli bilan yasash ko’rsatilgan.
Kesishuv chiziqning eng chetdagi (pastgi va yuqorigi) nuqtalari (1″ va 2″) berilgan sirtlarning kontur yasovchilari kesishgan joylarda bo’ladi. Oraliqdagi nuqtalarni topish uchun sirtlarning o’qlari kesishgan nuqtadan (O', O″ dan) berilgan ikkala sirtni kesuvchi sfera chiziladi (sferaning radiusi R ixtiyoriydir). Sfera bilan konus aylana bo’yicha kesishadi; bu aylana V tekislikka to’g’ri chiziq kesmasi (C″D″) tarzida proyeksiyalanadi.
Berilgan aylanish sirti ham o’sha sfera bilan aylana bo’yicha kesishadi; bu aylana V tekislikka to’g’ri chiziq kesmasi (A″B″) tarzida proyeksiyalanadi. Bu kesmalar (A″B″ va C″D″) o’zaro kesishib, izlangan 3″, 4″ nuqtalarni hosil qiladi. Ikkala sirtni boshqa radiusli sferalar bilan kesib, yana bir qancha nuqtalar topish mumkin.

14-rasm. 15-rasm.
Yasash frontal proyeksiyada bajariladi. Frontal proyeksiyasi bo’yicha kesishuv chizig’ining gorizontal proyeksiyasini yasash qiyin bo’lmaydi. Masalan, 3″, 4″ nuqtalarning gorizontal proyeksiyalarini topish uchun diametri A″B″ kesmaga teng bo’lgan aylana chiziladi va unga 3″, 4″ nuqtalardan vertikal chiziq tushiriladi.
Ba’zi hollarda, berilgan sirtlar bilan yordamchi sferaning kesishuv chiziqlari aylanalar bo’lsin uchun, har safar sferaning markazini yangi o’ringa surish kerak bo’ladi.
15-rasmda konus bilan halqaning o’zaro kesishuv chizig’ini markazi konusning o’qi bo’yicha «sirpanuvchi» sferalar vositasi bilan yasash usuli ko’rsatilgan. Chizmada joyni tejash maqsadida halqaning faqat bir choragi tasvirlangan. Sirtlarning umumiy sim­metriya (bosh meridianal) tekisligi izi (P_H) da yotgan 1″, 1′; 2″, 2′ nuqtalar to’g’ridan-to’g’ri to- piladi. Oraliqdagi boshqa nuqtalarni topish uchun yasashni halqa bilan sfera kesilishidan hosil bo’ladigan aylana tekisligining izi (Q_V) ni o’tkazishdan boshlash kerak. Bu tekislik bilan halqaning kesilishidan hosil bo’lgan aylana V tekislikka to’g’ri chiziq kesmasi (A″B″) tarzida proyeksiyalanadi. Bu A″B″ kesmaning o’rtasidan shu kesmaga o’tkazilgan perpendikulyar bilan konus o’qining kesishuv nuqtasi (O″) halqani ham, konusni ham aylana bo’yicha kesadigan va radiusi R = O″A″ = O″B″ bo’lgan yordamchi sfera­ning markazidir. Sfera bilan konusning kesishuvidan hosil bo’lgan aylana V tekislikka C″D″ kesma tarzida proyeksiyalanadi. Natijada, A″B″ bilan C″D″ kesishib, izlangan 3″, 4″ nuqtalarni beradi. Gori­zontal proyeksiyaga bu nuqtalar konusdagi aylana C″C″ vositasi bi­lan o’tkaziladi.
Huddi Q tekislikka o’xshash boshqa tekisliklar o’tkazib, yordamchi sferalarning yangi bir necha markazini va radiuslarini topish mumkin.
Absolyut aniqlik va qat’iy mantiqga asoslangan ilm – geometriyada hamma vaqt haqiqiy san’at va chin ma’nodagi go’zallik mavjud.
Geometriya bu qat’iyatli mantiq bilan tuzilgan va bezalgan fazoviy tasavvurdir.
Geometriyani anglash va uni hayotga tadbiq qilish uchun ko’tarinki ruh – ijodiy ilhom zarur.

1^ O’lchashga, ya’ni masofa, burchak, yuz va shular singarilarni aniqlashga doir masalalar metrik masalalar deyiladi. Geometrik elementlarning o’earo vaziyatlarini aniqlashga doir masalalar pozision masalalar deb ataladi.

2^Ikkiyoq, uch yoq, ko’pyoq, va h. k. terminlar oxiriga lik qo’shimchasi qo’shib o’qish tavsiya etiladi.
² Muntazam ko’pyoqlarning (ko’pyokliklarning) proyeksiyalarini yasashga qiziqganlar, masalan, N. A. Popovning «Курс начертательной геометрии» degan kitobini o’qishi mumkin. Гостехиздат, 1947.

3