Muhandislik grafikasi va kompyuterda loyihalash

3-misol. Shar bilan silindrning kesishuv chizig’i yasalsin (6-rasm). Silindrning o’qi (O₁) sharning markazidan o’tgan emas va H tekislikka perpendikulyardir.
Yasash: gorizontal proyeksiyadan ko’rinib turibdiki, silindr­ning hamma yasovchilari sharni kesib o’tgan, shuning uchun yarim sharda bir fazoviy egri chiziq, hosil bo’ladi. Bu chiziqning gorizon­tal proyeksiyasi silindrning gorizontal proyeksiyasiga – aylanaga to’g’ri keladi.
Kesishuv chizig’iga oid nuqtalarning frontal proyeksiyalarini topish uchun V tekislikka parallel yordamchi tekisliklardan foydalanamiz. Bunday tekisliklar bilan shar sirtning kesilishidan hosil bo’lgan aylanalar V tekislikka o’zgarmay proeksiyalanadi.
Bu aylanalarning tegishli yasovchilar bilan kesishuv nuqtalari iz­langan nuqtalar bo’ladi.
Oldin izlangan kesishuv chizig’ining xarakterli (tayanch) nuqtalarini topamiz; bunday nuqtalar qatoriga shar va silindr proeksiyalarining konturlaridan o’tgan 4″, 6″, 3″, 7″ nuqtalar, eng pastki 8″ nuqta, eng yuqorigi 9″ nuqta va V tekislik­ka eng yaqin 1″ nuqta, eng olis 5″ nuqta kiradi. Ko’rsatilgan tayanch nuqtalarning hammasi epyurda frontal tekisliklar (P_H, Q_H, R_H, ...) vositasi bilan topilgan.
Eng pastki va eng yuqorigi nuqtalar (8, 9) sharning markazidan va silindrning o’qidan o’tgan tekislikda, ya’ni ularning umumiy simmet­riya tekisligida bo’ladi.
Yuqorida keltirilgan misollardan ko’rinib turibdiki, xususiy vaziyatdagi yordamchi tekisliklardan kesishuvchi sirtlar proyeksiya tekisliklariga nisbatan xususiy vaziyatda joylashgandagina foydalanish qulay.
Chiziqli sirtlarning o’zaro kesishuv chizig’ini umumiy vaziyatdagi yordamchi tekisliklar vositasi bilan yasash
Agar o’zaro kesishuvchi chiziqli sirtlar proyeksiya tekisliklariga nisbatan umumiy vaziyatda joylashgan bo’lsa, bunday sirtlarning kesishuv chizig’iga oid nuqtalarni sirtlarning yasovchilari bo’yicha kesadigan umumiy vaziyatdagi yordamchi tekisliklar vositasi bilan topish qulay.
1. Ikki konus sirtning o’zaro kesishuvi. Bundan foydalanib, konus bilan piramidaning va piramida bilan piramida­ning o’zaro kesishuv chiziqlarini ham yasash mumkin.
Agar kesuvchi tekislik konusning uchidan o’tgan bo’lsa, konusni yasovchilari bo’yicha kesadi. Demak, ikkala konusning yasovchilari bo’yicha kesadigan yordamchi tekisliklar shu konuslarning uchlaridan o’tgan bo’lishi lozim.
7-rasm, a dagi yaqqol tasvirda asoslari bilan H tekislikda turgan ikki konusning o’zaro kesishuvi ko’rsatilgan.
Kesishuv chizig’i ni yasash uchun konuslarning uchlarini bir-biriga tutashtiramiz, hosil bo’lgan ST to’g’ri chiziqning H tekislikdagi izi — M nuqtani topamiz. M nuqta orqali H tekislikda ikkita to’g’ri chiziq chizamiz. Ulardan biri Q_H, masalan, birinchi konusning asosiga urinma va ikkinchi konusning asosini kesuvchi, ikkinchisi N_H esa ikkinchi konusning asosiga urinma va birinchi konusning asosini kesuvchi bo’lishi kerak. Xususiy hollarda bu Q_H va N_H chiziqlardan biri yoki ikkalasi ikkala konusning asoslariga ham urinma bo’lishi mumkin.

7-rasm, a.
Shunday qilib, hosil bo’lgan ST bilan Q_H va ST bilan N_H kesishuvchi chiziqlar eng chetdagi yordamchi tekisliklarni ifodalaydi. QH va N_H ularning H tekislikdagi izlaridir. Q tekislik I konusning sirtiga AS yasovchisi bo’yicha urinma bo’lib, II konusning sirtini A₁T, A₂T yasovchilari bo’yicha kesadi. Bu yasovchilar o’zaro kesishib, izlangan kesishuv chizig’iga oid 1 va 2 nuqtalarni beradi. N tekis­lik II konusga B₂T yasovchisi bo’yicha urinma bo’lib, I konusning sir­tini BS, B₁S yasovchilari bo’yicha kesadi-da, 3 va 4 nuqtalarni beradi.
Berilgan konuslarning uchlari (ST chizig’i) orqali o’tkaziladigan boshqa yordamchi tekisliklar Q va N tekisliklar oralig’ida olinishi lozim. Rasmda bunday tekisliklardan biri ko’rsatilgan. Bu R tekislik (izi R_H) I konusning sirtini CS, DS yasovchilari bo’yicha, II konusning sirtini C₁T, D₁T yasovchilari bo’yicha kesib, 6, 7, 8 nuqtalarni hosil qiladi. Shu tartibda bir necha tekislik o’tkazib, yana bir qancha nuqtalar topish mumkin. Topilgan nuqtalar tartibli ravishda o’zaro tutashtirilsa, ikkala konusning o’zaro kesishuv chizig’i hosil bo’ladi. Bu misolda konuslarning sirtlari bitta fazoviy egri chiziq (1 – 5 – 3 – 6 – 2 – 8 – 4 – 7 – 1) bo’yicha kesishgan.
Chetdagi tekisliklar (Q va N) kesishuvchi sirtlarning kesishuvda ishtirok etmaydigan qismini kesishuvda ishtirok etadigan qismidan ajratadi. Rasmda konuslarning kesishuvida ishtirok etmay­digan qismlarining asoslari (yaqqol bo’lishi uchun) shtrixovka qilingan.

7-rasm, b.
7-rasm, b dagi epyurda ikki konusning o’zaro kesishuv chizig’i proyeksiyalarini yasash ko’rsatilgan. Epyurda qo’yilgan belgilar yaqqol tasvirdagi (7-rasm, a.) belgilarga to’g’ri keladi. Epyurda S′T′, S″T″ konuslarning uchlarini tutashtiruvchi chiziqning proyeksiyalari, M′ nuqta bu chiziqning gorizontal izidir.
Epyurda avval M nuqta orqali yordamchi tekisliklarning gori­zontal izlari (Q_H, R_H N_H, ...) o’tkazilib, kesishuv chizig’iga oid nuqtalarning gorizontal proyeksiyalari (1′, 2′, 3′, ...) topiladi. Shundan keyin bu nuqtalardan o’tgan yasovchi chiziqlarning frontal proyeksiyalarndan foydalanib, ularning frontal proyeksiyalari (4″, 2″, 3″, ...) topiladi.
Epyurda nuqtalarni ko’rinar yoki ko’rinmasligini tubandagicha aniqlash mumkin:
1) har qaysi sirtni ikkinchisidan kat’i nazar, proyeksiyalarning har birida ko’rinar-ko’rinmasligiga rioya qilib alohida chizish kerak;
2) har qaysi sirtning yordamchi tekisliklar bilan kesilishidan hosil bo’lgan yasovchilarining proyeksiyalarini ko’rinar-ko’rinmasligiga rioya qilib alohida chizish lozim. Masalan, epyurdagi II konus­ning C₁T yasovchisi gorizontal proyeksiyada ko’rinmas, frontal proyeksiyada ko’rinar, D₁T yasovchisi esa ikkala proyeksiyada ham ko’rinar bo’ladi;
3) proyeksiyalarning har birida ko’rinar ikki yasovchining ke­sishuv nuqtasi ham ko’rinar bo’ladi, bordi-yu, ulardan biri yoki ikkalasi ko’rinmas bo’lsa, kesishuv nuqtasi ham ko’rinmas bo’ladi. Masalan, 7-nuqtaning gorizontal proyeksiyasi ko’rinmaydi, frontal proyeksiyasi ko’rinadi, 8-nuqtaning ikkala proyeksiyasi ham ko’rinadi.
2. Konus va silindr sirtlarning kesishuvi. Bundan foydalanib, konus va prizma, piramida va silindr yoki prizma sirtlarining o’zaro kesishuv chiziqlarini ham yasash mumkin.
Silindrni (prizmani) uchi cheksizlikda joylashgan konus (pira­mida) deb qarasa bo’ladi. Shuning uchun yuqorida ko’rib o’tilgan ikkita konus sirtlarining o’zapo kesishuv chizig’ini yasash usulidan bu holda ham to’la foydalanish mumkin. Bu yerda faqat yordamchi kesuvchi tekisliklarni konusning uchidan o’tgan va silindrning yasovchilariga parallel bo’lgan to’g’ri chiziq orqali o’tkazish kerak. Yasashning boshqa hamma bosqichlari 1-misoldagi singari bo’ladi.

8-rasm, a.
8-rasm, a da konus va silindr sirtlarining kesishuv chiziqlarini yasash ko’rsatilgan, 8-rasm, b da esa epyuri berilgan. Rasmlarda MS (M′S′, M″S″) konusning uchidan silindrning yasovchilariga parallel qilib o’tkazilgan yordamchi to’g’ri chiziq, M (M′, M″) nuqta esa uning izidir. Bu misolda sirtlar ikkita alohida fazoviy egri chiziqlar bo’yicha kesishgan.
3. Ikki silindr sirtning kesishuvi. Bundan foydalanib, ikky prizma yoki silindr bilan prizma sirtlarining o’zaro kesishuv chiziqlarini ham bajarish mumkin.
9-rasm, a da gorizontal proyeksiyalar tekisligida turgan ikkita og’ma silindrning o’zaro kesishuv chizig’ini yasash ko’rsatilgan. Silindrlarning yasovchilari bo’yicha kesadigan yordamchi tekisliklarning yo’nalishini aniqlash uchun fazoda ixtiyoriy olingan O nuqta orqali ikkita yordamchi to’g’ri chiziq o’tkaziladi: ulardan biri (OM₁) birinchi silindrning yasovchilariga parallel, ikkinchisi (OM₂) esa ikkinchi silindrning yasovchilariga parallel bo’lishi kerak. M₁ va M₂ nuqtalar yordamchi chiziqlarning gorizontal izlari, ular orqali o’tgan to’g’ri chiziq (P_H) esa, kesishuvchi chiziqlar bilan ifodalangan P tekislikning gorizontal izidir. P tekislik silindrlarning parallelizm tekisligi deyiladi. Bu tekislikka parallel bo’lgan yordamchi tekislik silindrlarni yasovchilari bo’yicha kesadi.

8-rasm, b.
Shunday qilib, oldingi hollardan bu holning farqi shundaki, bu yerda yordamchi kesuvchi tekisliklar P tekislikka paralleldir, demak, ularning izlari P tekislikning iziga parallel qilib o’tkazilishi kerak (Q_H || R_H || N_H || P_H).

9-rasm, a.
9-rasm, b da kesishgan silindrlarning epyuri berilgan. Sirt­larning kesishuv chizig’iga oid nuqtalarni topish prinsipi yaqqol tasvirda ham, epyurda ham bir xil bo’ladi. Epyurdagi O′, O″—ixtiyoriy olingan nuqta (uni chizmaning istalgan bo’sh yerida olish mum­kin), O′M′₁ birinchi silindr yasovchilarining gorizontal proyeksiyasiga parallel qilib, O′M′₂ ikkinchi silindr yasovchilarining gorizontal proyeksiyasiga parallel, O″M″₁ birinchi silindr yasovchilarining fron­tal proyeksiyasiga parallel, O″M″₂ ikkinchi silindr yasovchilarining frontal proyeksiyasiga parallel qilib o’tkazilgan. Parallelizm tekisligining gorizontal izi (P_H) bu chiziqlarning gorizontal iz- lari — M′₁ va M′₂ nuqtalardan o’tadi. Yasash uchun kerak bo’lmagani sababli P tekislikning frontal izi epyurda ko’rsatilmagan.

9-rasm, b.