Modul №1 optika fanining rivojlanish tarixi

Doiraviy to’siqdan bo’ladigan difraksiya. Nuqtaviy yorug’lik manbai va kuzatish nuqtasi orasiga radiusi
(14.5)
shartni qanoatlantiruvchi shaffofmas doiraviy diskni shunday joylashtiramizki, u birinchi m- ta Frenel zonasini ushlab holsin.

U vaqtda R nuqtadagi natijaviy to’lqin amplitudasi quyidagiga teng bo’ladi:

(14.6)
qavslar ichidagi ifodalar nolga teng bo’lgani uchun
(14.7)

Demak, doiraviy diskdan hosil bo’ladigan difraksion manzara birin-ketin joylashgan yorug’ va qora konstentrik xalqalardan iborat bo’ladi. Manzaraning markazida har doim (14.7) - shartni qanoatlantiruvchi yorug’ dog’ hosil bo’ladi. SP chiziqqa perpendikulyar ravishda R nuqtaga joylashtirilgan ekranda qanday difraksion manzara ko’rinishini aniqlaymiz. Ma’lumki, yorug’lik intensivligi manzaraning R markazidan o’lchanadigan r masofagagina bog’liq bo’lishi mumkin. Yopilgan zonalar soni kam bo’lganda A_m+1 bilan A₁ bir-biridan kam farq qilali. Shu sababli, P nuqtadagi intensivlik taxminan S bilan P orasida hech qanday to’siq bo’lmaganidek bo’ladi. P nuqtadan istalgan radial yo’nalishda siljigan P nuqta uchun disk (m+1) - Frenel zonasini qisman to’sadi, shuning bilan birga, m - zona qisman ochiladi. Buning natijasida intensivlik qisman zaiflashadi. P nuqta muayyan holatga kelganda intensivlik nolga tenglashadi. Agar difraksion manzaraning markazidan yanada uzoqroq siljisak, disk qo’shimcha ravishda (m+2) - zonani qisman yopadi. Shunig bilan birga (m+1) - zona qisman ochiladi. Natijada intensivlik o’sadi va P nuqtada maksimumga erishiladi. Agar shaffofmas to’siq Frenel zonalarining yarmidan ko’pini yopsa, yorug’ va qoramtir x alqalar qatori faqat geometrik soya chetidagi tor sohadagina kuzatiladi. U vaqtda A_m+1 << A_m bo’ladi va (8) - kattalik juda kichik bo’lib. yorug’lik intensivligi geometrik soya sohasining hamma erida amalda nolga teng bo’ladi.
Parij Fanlar Akademiyasi 1818 yilda e’lon qilgan tanlovda Frenel yorug’lik difraksiyasining yuqorida bayon qilingan nazariyasini yoqlab chiqdi. Bu masalada Puasson bilan katta tortishuv yuzaga keldi. Frenel nazariyasini Arago o’sha yerning o’zidayoq tajribalar bilan ko’rsatib berdi. Natijada doiraviy teshik va to’siqlarda bo’ladigan difraksion dog’lari hazil qilib "Puasson dog’lari" -deb ataladigan bo’ldi.
F renelning yorug’lik to’lqinlari to’g’risidagi tadqiqotlari natijasida yorug’likning to’lqin nazariyasi uning korpuskulyar nazariyasi ustidan to’liq ustunlikka erishdi. Bundan keyingi tadqiqotlarda yorug’likning endi faqat to’lqin xususiyatiga ega ekanligi e’tirof qilindi.
Yorug’lik yo’liga cheti to’g’ri chiziqdan iborat bo’lgan shaffofmas yarim tekislik o’rnatamiz. Soddalik uchun to’lqin sirtini yassi deb hisoblaymiz va u tekislikka parallel bo’lsin. Tekislikdan orqa tarafda undan b masofada ekran joylashtiramiz.
Ekranning ixtiyoriy P nuqtasidagi natijaviy tebranishni o’rganamiz. To’lqin frontining ochiq qismini juda tor bo’laklarga bo’lamiz. Hosil bo’lgan zonalar chetidan P nuqtagacha bo’lgan masofa bir xil  kattalikka farq qilsin.
Bu vaqtda qo’shni zonalar P nuqtada hosil qilgan tebranishlar bir xil fazaga farq qilali. Har bir zona hosil qilgan tebranishlar amplitudalari shu zonalar yuzasiga, demak ularning kengligiga bog’liq bo’ladi.
Birinchi zonaning kengligi quyidagiga teng:

Zonalar juda ham kichik bo’lganligi sababli bo’ladi.
Birinchi m zonaning umumiy kengligi:
(14.8)
m uncha katta bo’lmagani uchun ildiz ostidagi ikkinchi xad ni tashlab yozish mumkin. U holda:

Bundan (14.9)
e kanligi kelib chiqadi. Bu ifoda orqali kengliklar nisbatini aniqlasak (yuzalar ham shu nisbatda bo’ladi) quyidagicha bo’ladi:

Bu ifodadan ko’rinadiki, P nuqtada hosil qilingan tebranishlarning amplitudalari dastlab juda keskin kamayib boradi va m ning qiymati oshgan sayin bu kamayish sekinlashib boradi. Natijaviy to’lqin har bir zonadan kelayotgan to’lqinlar yig’indisiga teng bo’lganligi uchun, amplitudalarni grafik usulda qo’shganda siniq spiral hosil bo’ladi. Agar zonalar sonini cheksiz orttirsak, bu siniq chiziq silliq chiziqqa aylanadi. Bu spiralga Kornyu spirali deyiladi.
Rasmdagi F₊ va F_- nuqtalar spiral asimptotik ravishda yaqinlashadigan qutblarini tasvirlaydi. Spiralning to’lqin frontining chap yarmi ta’sirini ifodalovchi tarmog’i o’ng yarmi ta’sirini ifodalavchi tarmoqining tegishli qismlariga parallel bo’lgan qismlardan iborat, chunki to’lqin frontining mos qismlari hisob yuritilayotgan P nuqtaga nisbatan simmetrik ravishda joylashgan. O nuqta egilish nuqtasi bo’lib, spiralning qutblarini tutashtiruvchi to’g’ri chiziq O nuqtada o’tkazilgan urinma bilan 45⁰ burchak hosil qilali.
K ornyu spiralining tenglamasini nazariy yo’l bilan topish mumkin. Uning parametrik tenglamasi quyidagicha: (14.10)
Bu ifodalar Frenel integrallari deb ataladi.
Bu yerdagi v-parametrning mohiyati quyidagicha: To’lqin sirtining cheksiz tor zonasining P nuqtada hosil qilgan tebranish amplitudasining vektori dA spiralning biror elementi bilan ustma-ust tushadi va bu element v parametrning ma’lum qiymatiga mos keladi. Bu qiymat bilan zonaning ekrandagi proeksiyasidan P nuqtagacha bo’lgan x masofa orasida quyidagi bog’liqlik bor:
(14.11)
(a - yorug’lik manbaidan tekislikkacha bo’lgan masofa, b - tekislikdan ekrangacha bo’lgan masofa,  - to’lqin uzunligi). Agar v ning qiymati + dan - ga intilganda egri chiziq asimptotik yaqinlashiá boradigan F₊ va F_- nuqtalar spiralning fokuslari yoki qutblari deyiladi.
Ularning koordinatlari quyidagicha:
F₊ nuqta uchun,
F_- nuqta uchun.
E ndi Kornyu spirallari yordamida ekran chetidan hosil bo’ladigan difraksion hodisani tahlil qilaylik. Rasmda ko’rsatilgan geometrik soya chegarasida yotgan B nuqtadagi yoritilganlik to’lqin fronti sirti yarmining ta’siri bilan aniqlanadi, chunki uning ikkinchi yarmini ekran to’sib turibdi. Bunga Kornyu spiralidagi spiral markazini uning
F₊ qutbi bilan tutashtiruvchi OF₊ vektor mos keladi. bo’lgani uchun B nuqtadagi amplituda D ekran bo’lmagan holdagi amplitudaning yarmiga, intensivlik esa D ekran bo’lmagan holdagi intensivlikning choragiga teng. BK sohaga o’tilganda to’lqinning qutbi o’ng tomonga siljiydi. Shu sababli, B₂ nuqta uchun to’lqin frontining o’ng yarmining hammasi va chap yarmining biror qismi ochiq bo’ladi. Natijada amplituda F₊ ni spiralning tobora uzoqdagi nuqtalari bilan tutashtiruvchi vektor orqali, ya’ni va hokazo vektorlar orqali aniqlanadi. Grafikdan geometrik soya sohasiga o’tishda intensivlik sakrab o’zgarmasdan asta-sekin nolga intilishi ko’rinib turibdi. Geometrik soya chegarasidan o’ng tomonda intensivlikning bir qator maksimumlari va minimumlari birin-ketin joylashgan. Maksimumlar v parametrning -1,22; -2,34; -3,08; -3,69 va hokazo qiymatlarida natijaviy vektorning boshi bilan ustma-ust tushuvchi nuqtalar uchun hosil bo’ladi. b = 1 m,  = 0,5 mkm deb hisoblab va v parametrning keltirilgan qiymatlarini (11) formulaga qo’yib, maksimumlarning koordinatalari uchun quyidagi qiymatlarni olish mumkin: x₁ =0,61 mm; x₂ =1,17 mm; x₃ = 1,54 mm; x₄ =1,85 mm; …b masofa kichikroq bo’lganda maksimumlar yanada zichroq joylashadi. Kornyu spirali yordamida maksimumlardagi va minimumlardagi intensivlikning nisbiy qiymatini ham topish mumkin. Birinchi maksimum uchun 1,37^.I₀, birinchi minimum uchun esa 0,78^.I₀ kelib chiqadi.