Maxsus funksiyalar uchun fure almashtirishlari

2.2. Plansherel nazariyasi.
1.Unitar operator
Masalan ,VFure qatori Lsinfda aniqlangan shuning bilan birgalikda bu sinfdagi funksiyani Butun sonlar o’qida aniqlangan _{ }da nolga aylanadigan uzliksiz funksiyalar sinfiga o’tkazish mumkin.
2.2.1-ta’rif. A operator chiziqli deyiladi ,agar _{ } lar uchun.

A[_{ }]

tenglik o’rinli bo’lsa.
1.1.6-ta’rifdagi funksiyalar sinfi A operatorning aniqlanish sohasi hisoblanadi chiziqli bo’lganda ,ya’ni f(x)va g(x) funksiyalar ∀α,β sonlarda α f(x) β g(x) chiziqli kombinatsiyaga ega bo’lishi talab etiladi.
2.2.2-ta’rif. A:_{ },agar u normani saqlasaya’ni _{ }
Unitar operatorni aniqlanishini misol bilan tushuramiz._{ }operator _{ }da aniqlangan bo’lib quydagi ko’rinishda bo’lsin.

Bu yerda _{ }haqiqiy son.Bu operator chiziqli.
_{ }=_{ 
 } Ma’lumki_{ } operator _{ }dan olingan barcha f(x)funksiyalar uchun aniqlangan ,shuning bilan birgalikda ∀F(n)ϵ_{ }funksiya uchun∃f(x)ϵ_{ }ko’rsatilishi mumkinki F(x)=_{ } o’rinli bo’ladi.Demak_{ }f(x),ϵ_{ }funksiyalar to’plami _{ }da ustma-ust tushadi.
Endi._{ },vaf(x) funksiyaning normalari bir xil ekanligi ko’rsatamiz.Haqiqatdan ham

_{ }vaf(x)funksiyalarning modullari mosligidan ular normalarining mosligi kelib chiqadi.
_{ } Lemma.1 Agar A operator unitar bo’lsa ,u holda _{ } teskari operator mavjud va unitardir.
Isbot. F(x)→g(x)=Af(x)akslantirish o’zaro bir qiymatdir .Haqiqatdan ham ,agar A_{ }(x)=A_{ } bo’lsa u holda A operatorning chiziqliylik va normaning saqlanishidir.
0=_{ }
tenglikka ega bo’lamiz.
Normaning shartidan _{ }bo’ladi ya’ni _{ } operator mavjud.Demak Af(x)=g(x) operator teskarilanuvchi ekan, va biz qarayotgan A operator _{ }sinf _{ }sinfga o’tkazadi , bu holda uning _{ } teskarisi _{ }sinf _{ }sinfga o’tkazadi _{ }operatorning norma saqlashini oson ko’rsatiladi.

_{ }Lemma isbotlandi.
_{ }eyingi keltirilgan teoremamizPlonshe tomonidan keltirilgan bo’lib ,_{ }sinfda Fure almashtirishini tavsiflayiz.Teoremanioperator ko’rinishda beramiz.