Chiziqli operator yadrosi va obrazi. Chiziqli operator matritsasi va uning rangi. Reja

Chiziqli operator yadrosi va obrazi. Chiziqli operator matritsasi va uning rangi.
Reja:

1. 
   Chiziqli operator yadrosi.
   
2. 
   Chiziqli operator obrazi.
   
3. 
   Chiziqli operator matrisasi.
   
4. 
   Chiziqli operatorlar matritsasi rangi.
   

Ta’rif. U_n fazoning operator yordamida nolga akslanuvchi barcha elementlari to’plamiga operatorning yadrosi deyiladi va u Ker orqali belgilanadi.
Teorema. chiziqli operatorlar yadrosi shu operator qaralayotgan fazoning qism fazosi bo’ladi.
Bu teoremaning isboti [1, 240-bet]da keltirilgan.
Ta’rif. chiziqli operator yadrosining o’lchovi shu operatorning defekti (nuqsoni) deyiladi.
U_n fazoda aniqlangan chiziqli operator berilgan bo’lsin. M to’plamosti U_n ning qism fazosi, ya’ni bo’lsin. Agar desak, u holda ning obrazi bo’ladi. M to’plamostiga tegishli hamma elementlarning obrazini topaylik. Bu obrazlar hosil qilgan to’plamni orqali belgilaylik.
Teorema. Agar M fazoosti bo’lsa, u holda to’plam ham fazoosti bo’ladi.
Isboti. va lardan kelib chiqadi. Bu vaqtda hosil bo’ladi. Demak, ekanligidan kelib chiqdi. U holda to’plam fazoosti bo’ladi.
Xususiy holda M=U_n bo’lishi mumkin. U holda ham fazoosti bo’ladi.
Ta’rif. fazoostiga operatorning obrazi deyiladi.
Ta’rif. obrazning o’lchoviga operatorning rangi deyiladi.
ℱ maydon ustida V_n vektor fazo berilgan bo’lib,
(1)
uning bazisi bo’lsin. Agar operator V_n fazoda aniqlangan chiziqli operator bo’lsa, u holda vektorlar (1) bazis orqali chiziqli ifodalanadi, ya’ni
(2)
bo’ladi.
Ta’rif. Ushbu

matritsa chiziqli operatorning (1) bazisdagi matritsasi deyiladi.

Takrorlash uchun savollar:

1. 
   Chiziqli operatorning yadrosi.
   
2. 
   Chiziqli operatorning obrazi haqida tushuncha bering.
   
3. 
   Chiziqli operator matrisasi.
   
4. 
   Chiziqli operatorlar matritsasi rangi.