Maxsus funksiyalar uchun fure almashtirishlari

Umumlashgan Parsevol tengligi.
Faraz qilaylik f(x),g(x)ϵ_{ }f(x)+ 𝝺 g(x)
vaF(σ)+ c G(σ)funksiya uchun Parseval tengligini (***)tatadbiq qilamiz, bu yerda _{ } ixtiyoriy kompleks son
_{ }= _{ }
Normaning kvadratini skalyar ko’paytma orqali yozamiz:
(f+_{ })=(_{ }).
Skalyar ko’paytmani ochib yozamiz
(f,f+_{ }g)+(_{ }g,f+_{ }g)=(f,f)+(f,_{ }g)+(_{ })+(_{ })=_{ }
Tenglikni ikkinchi tomoniniham skalyarko’paytmani xossalaridan foydalanibyozib chiqamiz.
(_{ })=_{ }+_{ } (F,G)+_{ }
Perseval tengligidan foydalanib
_{ }(f,g)=_{ }(G,F)+_{ }
munosabatga ega bo’lamiz.
Bu munosabatda oldin _{ }va _{ } deb olib quydagi tenglikka ega bo’lamiz
(g,f) +(f,g)=(G,F)+(F,G) (2.2.7)
i(g,f)-i(f,g)=i(G,F)-i(F,G) (2.2.8)
(2.2.8) tenglikni iga qisqartirib (2.2.7) dan (2.2.8)ni ayiramiz va
(f,g)=(F,G)
ko’rinishdagi umumlashgan Parseval tengligini olamiz va uni
_{ } dx=_{ } dσ
ko’rinishda yozamiz