Mavzu: Xosmos karrali integrallar reja: kirish i-bob. Xosmas integrallar

Eslatma: (22) formula maxsus nuqta integrallash oralig ‘ining ichki nuqtasi bo ‘lganda ham o ‘rinli bo ‘ladi. Shuni esda saqlash mumkinki, boshlang ‘ich funksiya a ; b  segmentda uzluksiz bo ‘lishi kerak. Ana shunday boshlang ‘ich funksiyani mavjud bo ‘lishi xosmas integralning ham mavjud bo ‘lishini ta ‘minlaydi. Agar boshlang ‘ich funksiya [a;b] segmentning bitta nuqtasida ikkinchi jins uzilishga ega bo ‘lsa, u holda xosmas integral mavjud bo ‘lmaydi. Shunday qilib chegaralanmagan funksiyadan olingan integralni Nyuton-Leybnits formulasi bo ‘yicha hisoblash uchun F(x) funksiya [a,b] segmentda uzluksiz bo ‘lishi kerak, hamda f(x) chekli bo ‘lgan nuqtalarda F ‘( x )  f ( x ) tenglik bajarilishi zarur
1- misol. Ushbu

• 
  ₃ ^{d x}₂
  
• 
  1 x
  

integral hisoblansin.

Yechish: x=0 maxsus nuqta. Boshlang ‘ich funksiya F ( x )  3 3 x integrallash

oraligi [-1,27] da uzluksiz. Shuning uchun (22) formulani qo ‘llash mumkin:

2 7

d

x

^273(31) 12

 3 ^3 x

3

x

2

 1

 1

2-misol. Integralning yaqinlashishi tekshirilsin ^1

d x

.

1

x ^2

Y echish: x  0 maxsus nuqta. Boshlang ‘ich funksiya

nuqtada ikkinchi jins uzulishga ega. Shuning uchun xosmas integral uzoqlashadi va qiymati cheksizga teng. Agar biz buni e ‘tiborga olmay (22) formulani tatbiq qilsak

 1	d x		1
		 ( 		)		^11 112	noto ‘g ‘ri xulosa kelib chiqadi.
	x 2		x
 1

II-BOB. XOSMAS KARRALI INTEGRALLAR HAQIDA ASOSIY TUSHUNCHALAR
2.2-§.Qamrovchi to’plamlar ketma-ketligi va Xosmas karrali integralning ta’rifi.


2.2.1-Ta’rif[6]. (To’plamni qamrovchi to’plamlar ketma-ketligi tushunchasi.)
A gar chegaralangan ochiq bog’langan va Jardon bo’yicha
o’lchovli to’plamlar ketma-ketligi quydagi shartlarni qanoatlantirsa[7]: (monotonlik sharti)
Karrali integral tushunchasini chegaralanmagan to’plam va integral ostidagi

funksiya chegaralanmagan hol uchun umumlashtiramiz. dagi ochiq to’plam ning yopig’i, ya’ni deb hisoblaymiz.

2.2.1-Lemma. ning qamrovchisi, dagi bo’shmas kompakt

bo’lsin, u holda shunday mavjudki, bo’ladi[15].

Isbot.Teskaridan faraz qilamiz. kompakt, va bo’lsin. Bu uchun to’plamga tegishli
bo’lmagan nuqta topilishini anglatadi.Shartga ko’ra dagi yopiq,

chegaralangan to’plam, shuning uchun hosil bo’lgan ketma-ketlikdan biror nuqtaga yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish

mumkin. , ning qoplamasi bo’lgani uchun nuqta

biror to’plamga tegishli. Shuning uchun shunday nuqtaning ga kiruvchi

atrofiva N nomer topiladiki, , bo’ladi.

Bundan kelib chiqadi, bu esa nuqtalarning

tanlanishiga ziddir va tasdiqni isbotlaydi.

2.2.2-Ta’rif. Agar funksiya to’plamda saqlanuvchi ixtiyoriy

(Jordan bo’yicha) o’lchovi kompaktda Riman bo’yicha integrallanuvchi bo’lsa, u to’plamdalokalintegrallanuvchi deyiladi[5].

da

lokal

integrallanuvchi

funksiyalar

sinfini

deb

belgilaymiz. Bir

o’zgaruvchili

funksiya

holidagidek,

funksiyaning

da

integrallanuvchi

emasligiga

yoki

to’plamning

da

Jordan

bo’yicha

o’lchovli

emasligi,

yoki funksiyaning

to’plamda

chegaralanmaganligi sabab bo’ladi.Bu

ikkala

maxsuslik bir vaqtda ro’y berishi ham mumkin.

to’plamning ochiq, chegaralangan Jordan to’plamlari bilan

qoplamasi

va

funksiya

da

Riman

bo’yicha

integrallanuvchi,

ya’ni

,

bo’lsin.2.2.1-lemma

va integrallanuvchi funksiyalarning

xossalariga

ko’ra,

dagiixtiyoriyJordan

kompakti

uchun

,

ya’ni

Teskarisi

ham o’rinli,

agar

ning

qamrovchisi va

bo’lsa , u holda

,.

2.2.3-Ta’rif.

va

ni

monoton

qamrovchi,

Jordan

bo’yicha

o’lchovli

to’plamlardan iborat ixtiyoriy

ketma-ketlik uchun

ketma-ketlikning

tanlanishiga

bog’liq

bo’lmagan

chekli limit mavjud bo’lsin. U holda bu limit funksiyaning to’plam bo’yicha yaqinlashuvchi xosmas karrali integrali deyiladi va quyidagi simvollardan biri orqali belgilanadi.

36
funksiya esa da xosmasma’noda integrallanuvchi deyiladi[4,16].

Haqiqatdan ham, va ning Jordan bo’yicha o’lchovliochiq to’plamlar bilan qamrovchilari va

chekli limitlar mavjud bo’lsin. U holda				to’plamning		ochiq Jordan to’plamlari
bilan shunday		qamrovchisi		topilib,	uning	uchun	(2.2.1)		limit
mavjudemasligini		ko’rsatamiz.		deb	ataymiz,ixtiyoriy				natural
son,	ning		qamrovchisi			bo’lgani			uchun
shunday	topiladiki,		(2.2.1-limmaga ko’ra) bo’ladi.				=	bo’lsin.
Ammo		ningqamrovchisi,				shuning			uchun
shundaynomertopiladiki,				bo’ladi.		deb	olamiz.		Bu
jarayonni davomettirib quyidagi xossalarga ega bo’lgan							ketma-ketlikni
olamiz.
1)		ning Jordan	bo’yicha o’lchovli ochiq to’plamlar						bilan

monoton qamrovchisi;

2) ketma-ketlikning qismiy ketma-ketligi, qismiy

ketma-ketligi esa ketma-ketlikning qismiy ketma-ketligi.

Bu yerdan yaqinlashuvchi ketma-ketlik qismiy ketma-ketliklarining xossasiga asosan (2.2.1) limit mavjud emas degan xulosaga kelamiz, bu esa to’plamning Jordan bo’yicha o’lchovli ochiq to’plamlar bilan ixtiyoriy qamrovchisi uchun limitning mavjudligi haqidagi farazga ziddir.
37
1-eslatma.Ko’pincha yaqinlashuvchi xosmas karrali integralning ta’rifini

kiritishda ochiq to’plamning Jordan kompaktlari yopiq yoki ochiq bo’lishi

shart bo’lmagan Jordan to’plamlari bilan qamrovchisi qaraladi, bunda mos ravishda

deb olinadi, chunki bu holda

2-eslatma.Agar xosmas karrali integral yoki			Jordan to’plami bo’yicha yoki
har qanday Jordan to’plami bilan kesishmasi Jordan					to’plami bo’lgan,
chegaralanmagan	hamda	ochiqmas, lekin	Jordan	to’plamlari		bilan
qamrovchigaega		bo’lgan to’plam	bo’yicha		qaralsa,	u
holda	shartini	qanoatlantiruvchi ixtiyoriy		to’plam uchun

deb olinadi.