Mavzu: Xosmos karrali integrallar reja: kirish i-bob. Xosmas integrallar

2.2.1-Misol[7].

integralni yaqinlashishga tekshiring.

Echish. to’plamning ikkita va qamrovchilarini ko’ramiz.




y y

1					Dm	2
	Dm	1
0			mx	0			m	2m
-1				-1

1- chizma


funksiya ixtiyoriy uchun va ga Riman bo’yicha integrallanuvchi.

Lekin

bu limitlarning har xilligi integral uzoqlashishini bildiradi, chunki 2.2.3-ta’rifga ko’ra limit qamrovchi ketma-ketlikning tanlanishiga bog’liq bo’lmasligi kerak.

Yaqinlashuvchi xosmas karrali integralning yana bitta ta’rifini keltiramiz.

2.2.4-Ta’rif. dagi ochiq qisim to’plam va bo’lsin. Agar

shunday son mavjud bo’lib uchun

shunday kompakttopilsinki, bo’lganixtiyoriy Jordan

ochiq to’plam uchun

tengsizlik bajarilsa, funksiya to’plam bo’yicha xosmas ma’noda integrallanuvchi deyiladi[5,6].

son funksiya to’plam

bo’yicha

yaqinlashuvchi

xosmas

karrali

integralning qiymati deyiladi.

2.2.1-Teorema.2.2.3 va 2.2.4- ta’riflar teng kuchli.


Isbot.1) funksiya da 2.2.4-ta’rif bo’yicha xosmas manoda integrallanuvchi bo’lsin. Uning da 2.2.3-tarif bo’yicha ham integrallanuvchi va xosmas karrali integrallarning qiymatlari ustma-ust tushishini ko’rsatamiz[6].

Ixtiyoriy va to’plamni monoton qamrovchi Jordan bo’yicha o’lchovli

ochiq to’plamlar ketma-ketligini fiksirlaymiz. 2.2.4-ta’rifga ko’ra

shunday son mavjudki, uning uchun berilgan bo’yicha

shunday kompakt

topilib, uchun (2.2.3) bajariladi.

2.2.1-lemmaga va to’plam qamrovchisining xosalariga asosan

shunday natural son topiladiki, , va shuning uchun

bo’ladi. Bundan sonli ketma ketlik yaqinlashuvchi

va ekanligiga kelamiz. Shuning uchun xosmas integral 2.2.4-ta’rif ma’nosida yaqinlashuvchiva uning qiymati ga teng.

• 
  Endi to’plamning ixtiyoriy ochiq Jordan to’plamlari bilan
  

qamrovchisi uchun ga teng (2.2.1) chekli limit mavjud bo’lsin.

40

2.2.4-ta’rif ma’nosida yaqinlashuvchi (2.2.2) xosmas karrali integralning qiymati bo’lishini isbotlaymiz. Teskaridan faraz qilamiz. U holda shunday mavjudki, ixtiyoriy kompakt uchun shunday ochiq Jordan to’plami topilib,


va

bo’ladi.	to’plamning ochiq Jordan to’plamlari bilan biror
qamrovchisini fiksirlaymiz. kompakt				bo’yicha (2.2.4)		tengsizlik o’rinli
bo’ladigan		ochiq		Jordan to’plamini topamiz			kompakt
bo’yicha		ochiq	Jordan		to’plamini topamiz,		kompakt
bo’yicha	esa	shunday	ochiq		Jordan	to’plamlarini
topamizki		munasabatlar o’rinli bo’ladi va (2.2.4) bajariladi. Bu
jarayonni	davom ettirib,	to’plamning		qamrovchisi bo’lgan			ochiq

2. 
   k k+1,
   

b)

va demak, va shuning uchun


_kto’plamlarning tanlanishiga ko’ra son ketma-ketlikning

limiti bo’lmaydi, bu esa shartiga ziddir. Demak, xosmas karrali integral 2.2.4-ta’rif ma’nosida yaqinlashadi va uning qiymati ga teng.

41
2.3-§.Karrali xosmas integrallar haqida asosiy tushunchalar.

Bir karrali integrallar uchun biz ikki xil xosmas integrallar tushunchalarini aniqlagan edik. Shunga o’xshash karrali integrallar uchun ham ikki xil xosmas integral tushunchalarni kiritish mumkin[10]:

• 
  Chegaralangan funksiyaning chegaralanmagan soha bo’yicha 1-tur karrali xosmas integrallar.
  

• 
  Jardon bo’yicha o’lcho’vli chekli dona maxsus nuqtasi mavjud bo’lgan chegaralanmagan funksiyadan olingan 2-tur karrali xosmas integrallar.
  

2.3.1-Ta’rif. funksiya berilgan bo’lsin,

agar nuqtaning atrofida

funksiya chegaralanmagan bo’lsa, u holda


nuqta funksiya uchun maxsus nuqta deyladi. nuqta ga tegishli bo’lishi ham, bo’lmasligi ham mumkin[1,3,5].

2.3.2-Ta’rif.

(1-tur

karrali

xosmos

integiral

tushunchasi

.

)Faraz

qilaylik,

funksiya

chegaralanmagan

sohada

chegaralangan bo’lsin, sohani qamrovchi ixtiyoriy to’plamlar ketma-

ketligi bo’yicha olingan quydagi integrallar ketma-ketligining

funksiyadan chegaralanmagan soha bo’yicha olingan 1- tur karrali xosmos integral deyiladi va quydagicha belgilanadi[6].

Agar I limit mavjud bo’lib, chekli bo’lsa u holda (2.3.1) 1-tur karrali xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi.

Agar I limit cheksiz yoki majud bo’lmasa, u holda

(2.3.1)

1-tur karrali

xosmos integral uzoqlashuvchi deyiladi.

42

2.3.3-Ta’rif.(2-tur karrali xosmas intigrall tushunchasi).Faraz qilaylik,

Jordan bo’yicha o’lchovli chegaralangan soxada chegaralanmagan

funksiyaning maxsus nuqtalar to’plami ( orqali ning yopig’i

belgilangan) bo’lsin.

sohani qamrovchi va ixtiyoriy shartni qanoatlantiruvchi

to’plamlar ketma–ketligi bo’yicha olingan quyidagi

chegaralanmagan funksiyadan chegaralangan soha bo’yicha olingan 2-tur karrali xosmas integrall deyiladi va xuddi 1-turi kabi belgilanadi[6].

Agar I limit mavjud bo’lib, chekli bo’lsa, integrall yaqinlashuvchi deyiladi.

Agar I limit cheksiz yoki mavjud bo’lmasa, 2-tur karrali xosmas integrall uzoqlashuvchi deyiladi.