Mavzu: Xosmos karrali integrallar reja: kirish i-bob. Xosmas integrallar

1.3-§ Ikkinchi jins xosmas integrallar

Aytaylik, f(x) funksiya [a,b] kesmada berilgan bo ‘lib, b nuqtada chegaralanmagan bo ‘lsin. Bu holda b ni maxsus nuqta deyiladi. U vaqtda [ b   ; b ] kesmada f(x)funksiya integrallanuvchi bo ‘lmaydi, bunda   0 [a,b-  ] kesmada f(x) funksiyani integrallanuvchi (demak, chegaralangan) bo ‘lsin deb qaraymiz. Agar ushbu

2. 
   
   

0 	f ( x ) d x 	J	(13)
li m

a

limit mavjud va chekli bo ‘lsa, u holda bu limitni f(x) funksiyadan [a,b] kesma bo ‘yicha olingan ikkinchi jins xosmas integral deyiladi va

b
J f(x)d x₍₁₄₎


a

kabi belglanadi. Bu holda (14) integral mavjud va chekli bo ‘lsa yaqinlashuvchi deyiladi. Agar (13) limit mavjud bo ‘lmasa yoki cheksizga teng bo ‘lsa, u holda (14) integral mavjud emas yoki uzoqlashuvchi deyiladi.

Xuddi shuningdek, agar a maxsus nuqta bo ‘lib, f(x) funksiya [a+ ‘ ;b] kesmada integrallanuvchi bo ‘lsa, bunda  ‘ >0, u holda ikkinchi jins hosmas integral

b b

	f ( x ) d x  li m		f ( x ) d x	(15)
	^’0
a		a   ^‘

ko ‘rinishda aniqlanadi. Agar f(x) funksiya c nuqtada chegaralanmagan bo ‘lsa, bunda a


b c b

 f ( x ) d x   f ( x ) d x   f ( x ) d x

a a c

deb olinadi. Oxirgida chap tomondagi integral mavjud bolishi uchun o ‘ng tomondagi integrallar mavjud bo`lishi kerak. Agar a va b nuqtalar maxsus nuqtalar bo`lsa, u holda ikkinchi jins xosmas integral

• 
  _a^b f ( x ) d x   _a^c f ( x ) d x  _c^b f ( x ) d x
  

ko ‘rinishda aniqlanadi, bunda	integral c	nuqtaning tanlanishiga bog ‘liq
bo ‘lmaydi.
Misollar.
		1		d x
1. Ikkinchi jins xosmas integral	hisoblansin: 
			1 		x	2
		0

Yechish: x=1 maxsus nuqta. Ta ‘rifga asosan:

1

d x

1  

d x

^1 ^ ^  li m a r c s i n n (1   )  a r c s i n 1 



 li m

 li m a r c s i n x



1  x

2

0 

1 

x

2

  0

0

  0

2

0

0

Demak xosmas integral

yaqinlashadi.

  0

1

d x

2.

ni qanday qiymatlarida ushbu ikkinchi jins xosmas integral 

x ^

0

yaqinlashadi?

Yechish: x=0 maxsus nuqta. Ta ‘rifga asosan:

1

d x

1

d x

1

1



 li m





li m x ^1 ^ ^

1



x ^

  0

x ^

1 ^^0



1  

0



• 
   1 bo ‘lganda
  

1	d x		1	d x
		 li m			 li m l n x	1	 li m (  l n
	x			x		
		  0			  0		  0
0			

Demak, xosmas integral   1 uzoqlashadi.

3.Ushbu ikkinchi jins xosmas integral

						1	, a g a r   1 b o ‘ l s a
li m (1  	1  	) 						,
			 1			
  0				 , a g a r   1 b o ‘ l s a ;
			

)
bo ‘lganda yaqinlashadi, 1 bo ‘lganda

b	d x
		(16)
	( b  x ) ^p
a

• 
   ⁰ ning qanday qiymatlarida yaqinlashuvchi bo ‘lishi tekshirilsin.
  

Yechish: x=b maxsus nuqta. Ta ‘rifga asosan:

b

d x

b  

d x

1



li m



li m ( b  x )^1 ^ ^





( b  x ) ^

0 

( b  x ) ^



1 0

a

a

a



1

 ( b   )

1  

, a g a r

  1 b o ‘ l s a

1

1  

1  





li m [ 

 ( b

 d )

] 

1  



 1 ^^0



 , a g a r   1 b o ‘ l s a



• 
   1 bo ‘lganda
  

b	d x		b  	d x						b  a
		 li m				 li m l n ( b  x ) ^b ^ ^			 li m l n		
a	b  x		a	b 	x		a			
		  0				  0			  0

Demak, xosmas integral   1 bo ‘lsa, yaqinlashadi;   1 bo ‘lsa uzoqlashadi. 4.Ushbu ikkinchi jins xosmas integral

	b	d x
				(0)	(17)
		( x   ) ^
	a
  1bo ‘lganda	yaqinlashuvchi,		  1bo ‘lganda uzoqlashuvchi bo ‘lishi
isbotlansin.
Chegaralanmagan funksiyadan			olingan		integralning yaqinlashishi	va
uzoqlashishi haqidagi yetarli belgini ifodalovchi					teoremani isbotlaymiz .

16

Teorema: Aytaylik, f(x) funksiya[a,b) yarim segmentda uzluksiz va manfiy bo‘lmasin, hamda x=b nuqtada ikkichi jins uzilishga ega bo ‘lsin, yani
li m f ( x )  .
x  b  0

U vaqtda:

1. 
   agar shunday M>0 va   1 o ‘zgarmas sonlar mavjud bo ‘lib, [a,b) yarim segmentda
   

0  f ( x ) 	M	(18)
	( b  x ) ^p

tengsizlik bajarilsa, u holda

b

• 
  f ( x ) d x (19)
  

a

ikkinchi jins xosmas integral yaqinlashadi;

2. 
   agar M>0 va   1 o ‘zgarmas sonlar mavjud bo ‘lib, [a,b) yarim segmentda
   

f ( x ) 	M		(20)
	( b  x )	

tengsizlik bajarilsa, u holda (19) integral uzoqlashadi

Isbot. Avval teoremaning birinchi qismini isbotlaymiz. (18) tengsizlikka

asosan.

b  

b  

d x

b

d x

M ( b  a )^1 ^ ^

Ô (  )   f ( x ) d x  M 

 M 



( 1)

( b  x ) ^

( b  x ) ^

1  

a

a

a

bo ‘ladi. Demak, Ô (  ) funksiya yuqoridan chegaralangan. Shu bilan birga

Ô()

funksiya o ‘suvchi

bo ‘ladi. Shuning

uchun

Ô()

funksiya 

 0 da

chekli

limitga ega boladi. Bu (19) integralning yaqinlashuvchi ekanligini anglatadi.

Ikkinchi holda (20) tengsizlikka asosan.

b  	b  	d x
Ô() 	f ( x ) d x  M 
		( b  x ) ^
a	a

bo ‘ladi. 3-misolga asosan   1 bo ‘lganda (19) integral uzoqlashadi. Teorema isbotlandi. Bu teoremadan amaliy mashg ‘ulotlarda qo ‘llaniladigan ikkinchi

17

jins xosmas integralning	yaqinlashishi yoki uzoqlashishini aniqlab beruvchi
quyidagi yetarli belgi kelib chiqadi