Mavzu: Xosmos karrali integrallar reja: kirish i-bob. Xosmas integrallar

Teorema: Aytaylik,f(x) funksiya [a,b) yarim segmentda	uzluksiz
va manfiy

x  b  0

bo ‘lmasin, hamda ^li m

^f ^( ^x ^) ^ bo ‘lsin. U vaqtda

agar   1

bo ‘lganda

li m ( b  x ) ^ f ( x )  J

x  b  0

yaqinlashadi;   1

limit mavjud va chekli bo ‘lsa, u holda (19) integral

bo ‘lganda chekli yoki cheksiz

li m ( b  x ) ^ f ( x )  J  0

limit mavjud

bo ‘lsa

u

holda

(19) integral

x  b  0

uzoqlashadi.

Isbot: Birinchi holda  b  x ^ f ( x ) ning

x  b

dagi limiti J ga teng bo ‘ladi,

bunda J son nol ham bo ‘lishi

mumkin. M>J musbat sonni olamiz, u vaqtda

( b  x ) ^

f ( x )

ko ‘paytma x ning

b ga yaqin qiymatlarida

M dan kichik

bo ‘ladi,

ya ‘ni

( b  x ) ^

f ( x )

 M ,

a  c  x  b,

bunda c son b ga

shunchalik

yaqin

qilib

tanlanadiki,

natijada

[c,b) yarim

segmentda oxirgi

tengsizlik

o ‘rinli

bo ‘lsin.

Bu

tengsizlikdan

f ( x ) 

M

c  x  b (   1)

( b 



x )

,

hosil bo ‘ladi.

Shunday

qilib

(18) tengsizlik

kelib

chiqadi

va isbotlangan

b

teoremaga

asosan

ushbu



f ( x ) d x

integral

yaqinlashadi.

U holda

c

b

c

b

 f ( d x )



f ( x ) d x  

f ( x ) d x

tenglikdan (19) integralning

yaqinlashishi

a

a

c

kelib chiqadi.

Ikkinchi holda ^( ^b  ^x ^) ^

f ( x )

ko ‘paytma x  b

da J

 0 limitga ega .

Shunday

musbat

M

sonni

tanlaymiz. Bu

holda

x

ning

b

ga yaqin

qiymatlarida ( b  x ) ^

f ( x )

 M

,

a  c  x  b ,

tengsizlik

o`rinli bo ‘ladi.

Bundan [c,b) yarim segmentda

f

( x ) 

M

,

( b  x )



tengsizlikning

o ‘rinli bo ‘lishi kelib chiqadi, bunda   1 . Demak (20) tengsizlik

b

hosil bo ‘ladi.

Isbotlangan

teoremaga asosan

 ^f ^( ^x ^) ^d x -integral uzoqlashadi.

c

Bu esa

b

c

b

 f ( x ) d x   f ( x ) d x   f ( x ) d x

a

a

c

integralning uzoqlashuvchi ekanligini isbotlaydi. Teorema isbot bo ‘ldi.