Mavzu: Xosmos karrali integrallar reja: kirish i-bob. Xosmas integrallar

1-izoh.2-tur karrali xosmas integralning mavjud bo’lishi

uchun, bo’lishi zarurdir.

Misol.

Yechish: - sohani

1). Markazi (koordinatalar boshi) o’yib olingan r radusli ochiq doira qamrovchi to’plamlar ketma-ketligi sifatida quydagi halqalar ketma-ketligini taminlaymiz.

haqiqatdan ham va

2. 
   Qutb koordinatalar sistemasiga o’tib ta’rif bo’yicha hisoblaymiz:
   

dxdy

dxdy

2

r

d



^^limn

 limn

d^ 



2

 y

2



2

 y

2 ^



2

D

x



^Dn

x



0

r

43

n

r

^1^^2^ d 2

r

^1^^2^ d 2

r

d

 lim 2





  21

n

r

0

0

n

bu bir karrali

yaqinlashuvchi,

ikkinchi
tur xosmas integral

da uzoqlashuvchi edi.

da

Demak, da uzoqlashuvchi, da yaqinlashuvchi.

2.4-§.Karrali xosmas integrallarning yaqinlashish shartlari.


2.4.1-Teorema.[8] (Xosmas karrali integrallar yaqinlashishining zarur va yetarli sharti)

Agar bo’lsa, u holda

integralning yaqinlashuvchi bo’lishi uchun ni qamravchi hech bo’lmaganda

chegaralangan bo’lishi zarur va yetarlidir.

( Faraz qilaylik manfiymas va deyarli hamma yerda uzluksiz bo’lsin.

Agar shunday bir ni qamrovchi ketma – ketlik mavjud bo’lib,

sonli to’plam chegaralangan bo’lsa, u holda (2.3.1)integral yaqinlashuvchi bo’ladi)

Isboti.Zarurligi : Agar I integral mavjud bo’lsa, u holda integral ketma-ketligi I ga yaqinlashadi. Ixtiyoriy yaqinlshuvchi ketma-ketlik chegaralangan bo’ladi.
Etarliligi. Faraz qilaylik chegaralangan bo’sin, u holda Вейерштрасс teoremasiga ko’ra undan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin, ya’ni

44

lim I_n  I₀  sup I_n
n

limit mavjud.

2.4.2-Teorema[7]. Agar funksiya deyarli uzliksiz va koordinatalar boshining biror (qandaydir bir ) atrofidan tashqarida chegaralangan bo’lib quyidagi limit mavjud bo’lsa

u holda bo’lganda bo’ladi. dauzoqlashuvchi.

1-Misol. o’lchamli fazoda xosmas karrali integrallarni o’rganishda ularni etalon namuna funksiyalar bilan taqqoslash orqali o’rganiladi. Odatda bunday

etalon funksiya vazifasini funksiya bajaradi.Shu sababli quyidagi karrali xosmas integralni tekshiramiz.

bu yerda markazi koordinata boshida radusi bo’lgan o’lchamli shar.

Bu funksiya uchun koordinata boshi Qamrovchi ketma-ketliklar sifatida quydagi olamiz.

nol nuqta maxsus nuqtabo’ladi. to’plamlar ketma-ketligini

karrali xosmas integralning ta’rifiga ko’ra qamrovchi ketma- ketliklarga mos integrallar ketma-ketligi, sferik koordinatalar sistemasida quyidagi ko’rinishni oladi.

bu yerda o’zgarmas son (almashtirish yakobiani natijasida hosil bo’lgan o’zgarmas son).

tenglikdan da limitga o’tamiz va quydagi integralni hosil qilamiz:

45

bir karrali 1-tur xosmas integraldir. Ma’lumki bu integral bo’lganda

yaqinlashadi. bo’lganda uzoqlashadi.

funksiya uchun olingan integralni radusli sharning tashqi qismi bo’yicha tershiring.

Bu integral bo’lsa uzoqlashadi. bo’lsa yaqinlashadi. Bu yerda fazo o’lchami.

Xulosa. Demak (2.4.2) integral yaqinlashuvchi bo’lib, fazo uzoqlashuvchi ekan.

parameter fazo o’lchamidan kichik bo’lganda o’lchamidan teng va undan katta bo’lganda

2.5-§.Bir karrali xosmas integralning odatdagi ta’rifi bilan qamrovchi ketma-ketliklar orqali ta’rifini taqqoslash.

Biz birinchi tur xosmas integralni qamrovchi ketma-ketliklar orqali aniqlaymiz.

,

, ,… …,

1)

2)

3)

ketma – ketlik ni qamraydi.


ni qamrovchi ketma-ketlik

tuzamiz

.

46

{ } ketma-ketlik ni ichkaridan qamrovchi. esa tashqaridan qamrovchi.


Oddiy Riman integralini qamrovchi ketma-ketliklar orqali aniqlash

2.5.1-Ta’rif.

to’plamni

qamrovchi ,funksiya

ketma-ketkik berilgan bo’lsin, to’plamda integrallanuvchi

funksiya bo’sin u holda,

to’plamning ixtiyoriy bunday qamrovchilarining tanlanishiga bog’liq bo’lmasa bu

miqdor funksiyadan to’plam bo’yicha olingan xosmas integral deyiladi[6].

1-Eslatma. Agar -o’lchovli to’plam va bo’lsa u holda funksiyadan to’plam bo’yicha 2.5.1 – ta’rif ma’nosida olingan integral mavjud

va funksiyadan to’plam bo’yicha olingan xos integral bilan ustma ust tushadi.

2.5.1-Misol.Odatdagi ta’rif bo’yicha yaqinlashuvchi, qamrovchi ketma-ketliklarga asoslangan ta’rif bo’yicha uzoqlashuvchi bo’lgan funksiyaga misol.

47

Odatdagi ta’rif bo’yicha yaqinlashuvchi bo’ladi.

Riman teoremasiga ko’ra uning hadlarining o’rinlarini almashtirib yig’indisi ga teng bo’lgan qator tuzish mumkin. Hosil bo’lgan yangi qatorning qismiy

yig’indilarini funksiyadan

ni qamrovchi ketma-ketlik bo’yicha olingan integral deb qarash mumkin.

2.5.1-Ta’rif bo’yicha

Amaliyotda hamma vaqt quyidagicha aniqlanadigan maxsus qamrovchi

ketma-ketlikdan foydalaniladi: Farazqilaylik sohada aniqlangan

funksiya qandaydir to’plam atrofida chegaralamnagan bo’lsin. U holda

biz to’plamdan ning – atrofida yotuvchi nuqtalarni chiqarib tashlab

to’plamni xosil qilamiz. da bu sohalar ni qamrovchi bo’ladi.

Agar soha chegaralanmagan bo’lsa , u holda uning qamrovchisi sifatida D ning cheksiz atrofiga qamrovchisini olamiz.

Aynan shunday maxsus qamrovchilardan biz da xosmas integral ta’rifinianiqlashda foydalanganmiz.

48

2-Eslatma. Agar bo’lsa u holda limit
to’plamning qamrovchisi uchin mavjud va ga teng.

		bo’lgandagi karrali xosmas va bir o’lchamli xosmas
integrallar	ta’riflarini	taqqoslab,	quyidagilarni		aniqlash	mumkin:
1) Bir o’lchamli holda		to’plam sifatida ham,		ni qamrovchi		ketma –
ketliklar	sifatida ham	faqat oraliqlar	olingan,	chunki	sonlar	o’qida faqat

chegaralangan oraliqlargina chegaralangan bog’lamli to’plamlar bo’ladi, shu sababli Jordan to’plamlari sifatida ular qaraladi.

2. 
   Qamrovchi ketma-ketliklar sinfini yanada toraytirish natijasida, bir o’lchamli holda, xosmas ma’noda integralanuvchi funksiyalar sinfini yanada kengaytirish mumkin bo’ladi, xususan, shartli yaqinlashuvchi xosmas integrallar sinfi paydo bo’ladi.
   

Ko’p o’lchamli holda esa quyidagi tasdiq o’rinli bo’ladi.

2.5.1-Teorema. Agar funsiya uchun


, u holda bo’ladi.

Bu teoremaning mazmuni: bo’lganda qamrovchi ketma-ketliklar bo’yicha xosmas integrallarning yaqinlashuvchilik va absolyut yaqinlashuvchilik tushunchalari ustma – ust tushadi, ya’ni shartli yaqinlashuvchilik tushunchasi kiritilmaydi.

XULOSA

Xosmas karrali integrallar nazariyasi juda yaxshi keltirilib xossalari bilan birgalikda o’rganilgan.Soha chegaralanmagandafunksiya chegaralangan va soha chegaralanib funksiya chegaralanmagan hollarda xosmas integrallar o’rganilgan. Chegaralangan sohada xosmas integrallarni xos integrallarga keltirish masalasi quyidagi teoremada bir o’zgaruvchili bo’lganda keltirilgan.

Faraz qilaylik  Ca,b,			 (x) esa yetarlicha differensiallanuvchi funksiya
bo’lib, c a, b uchun  (c)  0 bo’lsin.
Teorema[17]. Agar
b			(x)			dx,	  0
			 (x)		
a

yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda xosmas integralni xos integralga almashtiruvchi va

		1	(t)	( (x)  t) almashtirish mavjud.
x (c)  0 shartni qanoatlantiruvchi x(t) 
Xosmas	karrali integrallarni aniqlashda				Jordan bo’yicha	o’lchovli
to’plamlar orqali keltirilgan. Bu to’plamlar				qamrovchi to’plamlar		shartini

qanoatlantiruvchi bo’lib hizmat qiladi. Qamrab olishlik sharti bilan limitga o’tib ni qamrovchi to’plamlar ketma-ketligi orqali aniqlangan.

Manfiymas va ishora almashinuvchi funksiyalarning xosmas karrali integralari aniqlangan, bunday funksiyalarga har xil sohalarda misollar qaralgan.

Integral ostidagi ko’phadni o’zining koefitsintlari orqali baholash xosmas karrali integrallarni aniqlanishiga olib kelingan.

Foydalanilgan adabiyotlar

1. 
   www.hozir.org
   
2. 
   www.uzsmart.uz
   
3. 
   www.arm.tdpushf.uz
   
4. 
   Otaboyev T.O «Matematik analiz» Toshkent 2016
   
5. 
   Soatov.U «Oliy matematika»
   
6. 
   Abdurazakov.A « Oliy Matematika» Farǵona 2019-yil