Математика тарихи

4-маъруза. Эрамиздан аввалги VI асрдан то V асргача Юнон-Pим халқларида математика. Математикани дедуктив фан сифатида шаклланиши. Бутун ва рационал сонлар арифметикаси.
РЕЖА:

1. 
   Эрамиздан аввалги VI асрдан то V асргача Юнон-Pим математикаси.
   
2. 
   Математикани дедуктив фан сифатида шаклланиши.
   
3. 
   Бутун ва рaционал сонлар арифметикаси.
   

Эрамиздан аввалги VI асрга келиб Юнонистон (Греция)да кучли қулдорлик давлати (давлат - шаҳарлар -полислар) вужудга келади. Тарихий ёдгорликлар Греция давлатларида техника, фан ва маданият юқори даражада ривожланганлигидан далолат беради. Йирик қулдорлик давлатларининг бирлашмаси булган Грецияда; Милет, Коринф, Афина; Италияда Сиракуза, Сицилиа, Рим ва бошкалар мустаҳкамланиб, бойиб асосий шаҳарларга айланди.
Бу даврга келиб математика дастлаб ионийлар (ионийская) - VII - VI (э.о.), сунг VI - V (э.о) асрларда пифагорийлар, кейинрок эса V(э.о) асрларда афина мактаблари вужудга келди. Бу мактабларда асосан табиёт ва философия масалалари билан кулдорлар ва бой савдогарлар шуғулланишган.
Бу давр математикасида арифметик ҳисоблашлар, геометрик ўлчашлар ва ясашлар асосий ролини йўқотмаган бўлиб, улар аста - секинлик билан математиканинг у ёки бу бўлимларига группалана бошлади. Агарда шарқ математикаси асосан “қандай?” деган саволга жавоб берган бўлса, грек математикаси эса бунга қўшимча “нима учун ?” деган илмий саволга жавоб беришга ҳаракат килган.
Юнон математикасининг илк шаклланиш даври ҳакида жуда кам маълумотлар сақланиб колган. Математика тарихини ўрганувчи олимлардан Таннери, Хис, Цейтен, Франк ва бошқаларнинг изланишлари натижасида бу давр ҳакидаги математикадан купгина маълумотлар маълум бўлди.
Бизгача етиб келган тўлиқ математик асарлардан э.о. IV асрга оид бўлган Евклид, Архимед, Апполоний асарларидир. Буларда математика илмий фан сифатида шаклланиб булган эди.
Э.о. 430 йилга келиб , Афина, Греция империясининг марказига айланди (олтин даври) .Математика назарий асосда баён этила бошланди.Тарихда биринчи марта математикага танқидий ёндошадиган олимлар (софистлар) пайдо бўла бошлашди. Бу давр софистлари ҳақида жуда ҳам кам маълумотлар сақланган. Бизгача тўлиқ сақланиб келгани Хиослик файсўф Гиппократнинг математик асаридир. Бу асар математик мулоҳазаларнинг етарлича тўлиқлиги ва назарий масалаларни кўтарилиши билан аҳамиятга моликдир. Бунда;
1) Иккита доира ейлари билан чегараланган япрокларнинг ( текис фигура) юзини хисоблаш ( квадратура о).
2) Ўхшаш доиравий сегментлар юзаларининг нисбати, уларни тортиб турувчи ватарлар квадратларининг нисбати каби.
3) Учбурчак тенгсизлиги ва Пифагор теоремаси (100 ёш кичик)
4) Антик даврининг асосий проблемалари (Бурчакни учга булиш, кубни иккилантириш, доирани квадратлаш) ҳакида маълумотлаб бўлиб, аксиоматикани дастлабкир кадамлари қўйилди, мантиқий хулоса чиқариш принципи қўлланилди.
Демократик ҳаракатларнинг таъсири натижасида софистлар группасидан математика билан шуғулланувчи философлар ажралиб чиқди. Улар ўзларини шу мактабнинг асосчиси Пифагор номи билан пифагорийлар деб атади. Пифагор - задогонлардан чиккан давлат арбоби, олим бўлиб , илоҳиётга (мистика) ишонувчан бўлган. Улар табиятда ва жамиятда абадий асосни қидиришган. Бунинг учун улар геометрия, арифметика, астрономия ва музиқа илмини ўрганишган. (Буюк номоёндаларидан бири Архит э.о 400 йилда яшаган бўлиб пифагорийлар математикасининг кўп кисми унга тегишли).
Пифагорийлар арифметика соҳасида:

1. 
   Улар сонларни жуфт - тоқ, туб ва мураккаб, мукаммал, қўшалок (дружески), учбурчакли, квадратли, бешбурчакли ва ҳакозо кинфларга ажратганлар. Ҳозирги кўринишлар улардан мерос.
   

2. Мунтазам кўпёқларнинг ва мунтазам кўпбурчакларнинг хоссалари;
3. Текисликни мунтазам учбурчаклар (ёки туртбурчаклар, ёки олтибурчак) системаси билан коплаш усули, фазони эса - Кублар системаси билан коплаш усулини билганлар.
4. Пифагор теоремасининг исботи.
5. а:в=в:с - ўрта геометрикни ўрганиш натижасида ўзаро улчамсиз кесмаларнинг, яъни иррaцоналликни кашф этганлар.
(Илохий сонлар бир ва иккининг урта геометриги нимага тенглигини излаш квадратнинг томони билан диогонали орасидаги муносабатга олиб келади бу эса уларнинг тушунчасидаги рatsiонал сон билан ифодаланмаслиги - иррatsiоналликга олиб келади).  ни катъий исботини билишган. Фараз килайлик  узаро туб сонлар булсин, у холда 2n²=m² булиб, m² жуфт, демак m - жуфт. У холда n - ток. Лекин, m - жуфт эди, демак, m² 4 га булинади. Бундан n² - жуфт булади ва бундан n хам жуфт булади. Бир вактда n - хам жуфт, ток булиб колди. Бу эса мумкин эмас Демак,  рatsiонал эмас.

Бундан сунг Архит (э.о V)  иррatsiонал эканлигини исботлади. Теодор 3,5,6, ... 17 ларнинг квадрат илдизи иррatsiонал эканлигини исботлади. Теэтет (э.о IV) эса дастлабки классификatsiясини берди.

Дедикинд ва Вейерштрасс томонидан тузилган ҳозирги замон иррatsiонал сонлар назарияси ўзининг моҳияти жихатидан антик математикларнинг (Евдокс) фикрлаш услубига мос келади, аммо ҳозиргиси замонавий методларга асослангани учун кейинги ривожланиш учун кенг имкониятлар яратиб беради. Бундан ташкари (э.о. 450 йиллар) Элладолик Зенон кашфиёти кутилмаган натижаларга яъни; арифметика ва геометриянинг мавжуд гармониясининг бузилишига олиб келди.
Табиатан философ - консерватор булган Зенон узариш бу шунчаки буклиб, абсалют мавжудликка факат онг етади деб тушунган. У куйидаги, аввал кабул килинган  , тушунчаларни танкид килиши натижасида кулидаги 4 та породоксга олиб келдики, булар барча математик тушунишлар оғдар - тунтар килиб юборди. Архимеднинг маълумот беришича булар куйидаги породокслар; Ахиллес, Стрела, Дихотомия (иккига булиш) ,стадион. Бу парадокслар пирамида ҳажмини ҳисоблашдаги чексиз процесслар натижасида математик мазмун кашф этди. Дихотомия парадокси; фараз қилайлик Мен А дан В гача булган туғри масофани босиб утишим керак. Бунинг учун аввал АВ нинг ярми булмиш АВ ни босиб утишим керак. А га бориш учун эса аввал АВ нинг ярми булмиш АВ ни босиб утишим керак. В га бориш учун В (яна такрор) ва ҳоказо чексиз давом этади. Натижада ҳакарат булмайди ва мен юролмайман.Ахиллес тошбакага етолмайди;Камон укининг учиши (дискрет (.)).
Демак, Зеноннинг фикрича чекли кесмани узунлиги чекли булган чексиз кесмаларга ажратиш мумкин. Бу кашфиёт умуман “математика аниқ фанми?” деган шубҳага олиб келди..
Купгина математика тарихчилари буни Юнон математикасининг кризисини бошланиши деб шархлашди. ( инкироз ) Э.о. 404 йилда Афинанинг кулаши (Пелопонская война) ва жамият системасининг узгариши (республика) Греция тарихида ва шу катори математикасида ҳам янги давр бошланди. Платон (360 й . э.о) академиясининг буюк математикларидан Архит, Теэтет (369) ва Евдокс (408-355 й).
Евклид “Бошланғичлар”ининг 5-китобида Евдокснинг нисбатлар назарияси (теория отношения) ва инкор этиш методидир (метод исчерпывания) маълумотлар беради. Агарда биринчиси қатъий аксиоматик формада баён этилган геометрик назария булиб, ўзаро ўлчамли ёки ўлчамсиз миқдорлар тушунчасига нисбатан пифагорийлар назариясига зарба берган бўлса; иккинчиси эса формал логика элементлари ёрдами чексиз кичиклар билан боғлиқ бўлган барча проблемаларни четлаб ўтишга имкон берди. Бу эса Зенон парадоксларига берилган зарба бўлди. Бу метод ёрдамида юзаларни ва ҳажмларни ҳисоблашниқ катъий исботи берилди.

Мас; 

1). фараз қилайлик V> бўлсин; к-к пайдо қилинади;

2) фараз қилайлик V<  бўлсин; к-к пайдо қилинади;

Хулоса, демак V= бўлиши керак.

Евдокс томонидан Юнон математикасидаги кризиснинг бартараф этилиши унинг бундан кейинги ривожи учун янги туртки бўлди.

э.о 323 Александр Македонский Вавилонда вафот этди. Унинг лашкарбошилари империяни бўлиб олдилар. Натижада учта йирик давлат; Птоломейлар сулоласи ҳукмдорлигида - Миср ; Селевкидлар ҳукмдорлигида - Месопоталия ва Сурия; Антигон ҳукмдорлигидан - Македония ва Ҳинд водийсида бир канча князлари вужудга келди. Босиб олинган ерларда греклар ўзлариникига қараганда ривожланган математик маълумотларга дуч келдилар. Улар буни кабул қилдилар. Натижада математиканинг бундан кейинги ривожи янада тезлашди. Ўрта аср денгизи атрофларидаги давлатлар тезрок ривожлана борди. Айнан шу ерларда, яъни; Александрия, Афина, Сиракуз ва бошкалар.
Александрияда - Евклид (306-283 й) , Апполоний (200( асли Пергамалик, 260-170 й)), Птоломей (II аср), Герон (I-II) Сиракузада - Архимед (287-212 й). Антик давр математикасининг ривожини учинчи даври Рим хукмдорлиги билан боғлик.Эрамизнинг бошланишига келиб у якин шаркни узига буйсундирди. Бу даврнинг математикаларидан; Гераслик - Никомах (100 й) - “Арифметик кириш” (Арифметическое введение) пифагорийлар арифметикасининг тулик баён келтирилгани.
Александриялик - Птоломей (150 й) асарининг араблаштирилган номи “Альмагест” . Бу китобда:
1) 0⁰ - 180⁰ гача бурчаклар учун ватарлар таблицаси;

2) 0⁰ - 90⁰ гача бурчаклар учун ҳар ярим градусда синуслар таблицаси;

3)  учун қиймат 

4) Икки бурчак йиғиндиси ва айирмаси учун синус ва косинус формуласи;

5) “Птоломей теоремаси” - вйланага ички чизилган туртбурчак ҳакидаги ва бошкалар.
Кейинги олимлардан Менелой (100 й) асари “Сферика” да сферик геометрияга оид маълумотлар аксиоматик асосда берилган.
Бу билан бир даврда Герон яшаб ижод этган.”Метрика” асарида соф геометрик усулда исботлади. Кесик пирамиданинг ҳажмини ҳисоблаш, бешта мунтазам кўпёқликнинг ҳажмини ҳисоблашлар бор. Шарк услуби кучли бўлса, иккинчисида Евклид руҳида грек услуби кучли.
Эрамизнинг бошларида Диофант (250 й) ўзининг “Арифметика” асарида (6 та китоб сакланган) шарк услуби яна кучлироқ сезилади. (элпинизированный вавилонянин). Бу китобга турли - туман масалалар келтирилган булиб, кубларнинг ечилиши узининг оригинали билан ажралиб туради.
Сунгги даврларда яшаб ижод этган Александриялик математиклардан Папп (III-IV аср) .Унинг “Тупламлар” (“Собрание - Synagoge”) асари геометрияга бағишланган бўлиб, ўз давридаги ва олдинги олимларнинг асарларига тарихий ёндашиш руҳида баён этилган. V асрга Рим империяси инкирозга юз тутди. Узаро урушлар, тахт талашиши ва бошкалар сабаб. 630 йили Александрияни араблар босиб олишди. Гарчи улар илм маърифат ривожланишига тўсқинлик қилмаган бўлсаларда, лекин илмий марказ аста-секинлик билан шаркка қараб кўчди.
Антик давр математикларининг энг катта ютуқларидан бири бу математикани мустақил дедуктив фан сифатига олиб чиқиш ва уни қатъий аксиоматик асосга қуришдан иборатдир. Эрамиздан олдинги IV-III асрга келиб математикани мустакил фан сифатида эътироф этилиши, фалсафий ва мантиқий фикрлаш формаларининг асослари яратилган бўлиб, дедуктив фанни қуришнинг принцплари илгари сурила бошланди. Мантиқий мураккаблашиб борувчи системанинг дастлабки бошланиши сифатида аксиомалар қарала бошланди. Бунда теорема ва масалаларнинг мантиқий кетма-кетлиги шундай танланиши керакки, иложи борича аксиомалар системаси ихчам бўлсин. Масалан, Евдокс муносабатлар назариясидаги микдорлар тушунчаси асосида бешта аксиома системаси ётади:

1. Агар а=в, с=в булса, у ҳолда а=с бўлади (транзит).

   
   

2. Агар а=с булса, а+в=с+в бўлади.

   
   

3. Агар а=с булса, а-в=с-в бўлади.

   
   

4. Агар а=в булса, в=а бўлади (совмещающиеся ровна)

   
   

5. Бутун қисмдан катта.

   
   

Ўша даврда яратилган барча асарларнинг номи “Бошланғичлар” бўлиб дастлабкиси Хиослик Гиппократга тегишлидир. Евклиднинг “Бошланғичлари” яратилгандан сўнг колганлари унутилиб юборилди ва улар бизгача етиб келмаган (қисқача шарх бер.)