Математика тарихи

3. Бутун сонлар устида амаллар. Агар Мисрликларнинг сонли белгилари ўзиникига ўхшаб кетсада, хисоб амаллари ўзига хос хусусиятлари билан характерланади. Бутун сонларни қўшиш ва айриш амаллари хакида унчалик муракаб бўлмаган. Масалан, кушишда бир хил разрядлардаги белгиларни санаш ва кушиш, зарурат бўлса, яъни, бу санашда янги разряд юзага келган келган бўлса, уни расмдаги махсус белги билан алмаштириш амали бижарилган. Шуни таъкидлаш керакки, қадимги Мисрликларда санок
асбоби (хлзирги счётларга ухшаш) мавжуд бўлган. Фақат улар данакларни стерженда утказилган кўринишда бўлмай, турли разрядларни билдирувчи тошлардан иборат бўлган. Бу тошлар данаклар каби стержен бўйлаб сурилмай, балки алохида хисоб тахталарига олиб қўйилган.


3-маъруза. Бошланғич математик тушунчалар ва геометрик
тасвирларнинг вужудга келиши
РЕЖА:
1. Арифметик тушунчаси.
2. Санаш воситалари.
3. Рақамларнинг ифодаланиши.
4. Геометриянинг келиб чиқиши.
5. Геометрия тушунчасининг тавсифи.
1. Бизнинг математика билан танишувимиз сон ҳақидаги фан- арифметикадан бошланади. «Арифметика» юнонларнинг «сон»ни англатувчи аритҳмос сўзидан ҳосил қилинган. Бу фан сонлар устидаги амалларни, улар билан бажариладиган турли қоидаларни ўрганади, қўшиш, айириш, кўпайтириш ва бўлишга олиб келадиган масалаларни эчишни ўргатади. Арифметика ва геометрия инсоннинг энг қадимги йўлдоши. Бу фан предметларни санаш, эр майдониларини ўлчаш, бойликни бўлиш, вақтни ҳисоблашга зарурат туғилган вақтда вужудга келган. Қадимги Шарқ мамлакатларида тўпланган математик билимлар хазинаси қадимги Юнонистон олимлари томонидан ривожлантирилди ва давом эттирилди. Тарих антик даврда арифметика билан шуғулланган кўплаб олимларнинг номини сақлаб қолган. Анаксагор, Зенон, Эвклид ва Архимед, эратосфен ва Диофант шулар жумласидан. Бунда Пифагорнинг номи ёруғ юлдуз каби чақнаб туради. Арифметиканинг асосий объекти – сон. Натурал сонлар, яъни 1,2,3,... Муайян предметларни санашдан ҳосил бўлган. Одамлар иккита тустовуқ,иккита қўл, иккита одам ваҳаказоларни айни бир – «иккита» сўз билан ифодалаш мумкин эканини англагунча неча минг йиллар ўтган. Дастлабки энг биринчи санаш воситалари одамнинг қўл панжалари ва тошлар бўлган. Бармоқлар билан ҳисоблаш натижасида бешлик ва ўнлик саноқ системалари пайдо бўлди. Кертилган пона ва тугунли арқонлар ҳисоб учун кейинроқ топилган ихтиролар эди. Ҳисоб-китоб учун маҳсус яратилган энг биринчи мослама абакдир. эрамиздан анча олдин қадимги Миср ва Юнонистонда маълум бўлган абак воситасида ҳисоблаш то ХВ-ХВИИИ асргача сақланди. Бу даврларга келиб ёзма ҳисоблашлар абакнинг ўрнини эгаллади.
Абак асосан ҳисоблашларни осонлаштириш учун эмас, асосан оралиқ натижаларини ёдда тутиш учун хизмат қилган. Абакнинг бир неча тури маълум: юнон (миср) абаги чизиқлар ўтказилган тахта кўринишда бўлиб, чизиқлар ҳосил қилган устунларга тошлар терилган; рим абакида тошчалар тахтадаги новларда сурила олган; Хитойда (номи суан-пан) ва Японияда (саробан) таёқчаларга соққалар тизилган; ҳисолблаш жадвалларида эса бирлик ўнлик юзлик ва буларни ёзиш учун горизонтал чизиқлар, алоҳида қўшилувчилар ёки кўпайтувчиларни ёзиш учун эса вертикал чизиқлар ўтказилган. Бу чизиқларга япалоқ предметлар терилган. Рус абаки – чўт ХВИ-ХВИ асрда пайдо бўлган. Вақт ўтиши билан сонларга ном берилибгина қолмай,уларни белгилаш ҳам ўрганилди.Рақамлар – сонлар ёзувида ифодаланадиган шартли белгилар. Ёғоч даста ва суякларга ўйилган кертикларни, кейинроқ эса чизгиларни сонларнинг биринчи ёзувлари деб ҳисоблаш мумкин. Аммо катта сонларни бу усулда тасвирлаш ноқулай эди,шу сабабли баъзи чизиқчалар тўплаш учун махсус белгилар (рақамлар) ишлатила бошланди. Қадимги Мисрда тахминан 5000 йил илгари 10 сони ∩ иероглиф билан, 100 сонини @ билан белгилана бошланди ваҳоказо. эрамиздан аввал ИИ асрдан эрамизнинг бошигача Дажла ва Эвфрат дарёлари орасида яшаган халқлар (Бобилликлар, ассирияликлар, шумерлар) аввал сонларни турли катаклардаги доира ва ярим доиралар билан белгилашган, кейин эса фақат иккита миххат белги тўғри пона пона (1) ва ёпиқ пона Δ (10) дан фойдаланишган. эрамиз бошида Марказий Американинг Юкатон ярим оролида яшовчи ҳиндуларнинг майя қабиласи санашнинг бошқа системаси – йигирмали системасидан фойдаланган. Улар 1 ни нуқта билан, 5 ни эса горизонтал чизиқ Ғ билан белгилашган.
Қадимги Юнонистонда аввал 5,10,100,1000,10000 ларни Г, Δ ,Ҳ,Х,М ҳарфлари билан 1 ни эса чизиқча билан белгилашган. Кейинроқ1,2,…,20,30,…90,100,200,…,900,1000,2000,…,9000, 10000,20000 сонларини юнон алифбосининг ҳарфлари билан белгилай бошладилар. Рақамларни харфлардан фарқ қилиши учун уларнинг тепасига чизиқча тортиб қўйилар эди.
Араблар забт этган мамлакатларда , жумладан Ўрта Осиёда ҳам худди Юнонларниг белгилашларига ўхшаш “абжад” деб аталувчи системадан фойдаланишган. Сонларни шунга ўхшаш белгилаш системаси қадимги Русда ҳам қўллагилган. Улар ҳам сонларни белгиловчи харфлар устига махсус белгилар қўйишган. Қадимги Римликлардан бизгача И(1), В(5), Х(10), C(100), М(1000) рақамлари этиб келган. Баъзи олимлар В очиқ панжани ,Х эса айқаш икки қўлни билдиради деб ҳисоблайдилар. Хитойда ва Японияда сонларни ёзиш учун иероглифлардан фойдаланилган. Натурал сонларнинг хозирги ўнли ёзуви биринчи марта VI-VIII асрда Ўрта Ер денгизи ва Осиёнинг ката-катта раёнларини босиб олган араблар орқали ҳинд рақамлари бошқа эрларга тарқалди. Геометрия - энг қадимги математик фанлардан бири. Биз геометрияга таалуқли биринчи фактларни Бобилнинг миххатли жадвалларидан ва мисрликларнинг папирусларидан, шунингдек бошқа манбалардан топамиз. «Геометрия» фанининг номи қадимги юнон тилидан олинган. У қадимги икки юнон сўзи (гео- «ер» ва метрио-«ўлчайман»)-дан олинган. Геометрик билимларнинг вужудга келиши одамларнинг амалий фаолияти билан боғлиқ. Бу кўпинча геометрик фигураларнинг номларида ўз аксини топган. Предметларнинг физик хоссаларидан ташқари, уларнинг ўлчовлари, форма ва тузилиши, одамларни геометрик жисм ва геометрик фигура тушунчаларига олиб келди. Масалан, сирт чизиқ, нуқта,текислик ва бошқалар. Геометрик фигуралапр энг қадимги хужжатлар, «Москва» папирусида, «Ахмес папирусида», 4000 йил олдин ёзилган Қадимги Бобил қўлёзмаларида учрайди. Қадимги геометрик фигура ва тушунчаларни ишоралар билан белгилашга уриндилар. Юнон олими Герон «учбурчак» сўзини - Δ белги га, «тўғри тўртбурчак» сўзини белгига алмаштирган. Франциялик математик П. Еригон ХVII асрда қуйидаги белгилашларни киритади:
- бурчак тушунчаси учун
- перпендикуляр тушунчаси учун
О – доира тушунчаси учун

• 
  тўғри бурчак тушунчаси учун
  

- айлана қисми тушунчаси учун.
Баъзи бир геометрик атама ва тушунчаларнинг келиб чиқиши. Геометрик атамаларниг кўп қисми Юнонлардан келиб чиққан. Бу атамаларнинг кўп қисми қадимдан маълум бўлган ва ўрта асрларда лотин тилига ўгирилиб, кўп олимларга ҳизмат қилиб келмоқда. Шунинг учун кўп атамалар юнонча ва лотинчадан келиб чиққан. «Планиметрия»- лотинча сўздан олинган бўлиб, планум-текислик ва юноча метрио – ўлчов сўзидан келиб чиққан. “Фигура”-лотинча бўлиб,образ, кўриниш ва тасвир маъноларини билдиради.Бу атама ХII асрдан бошлаб ишлатилиб келинмоқда. Унгача бу сўзнинг ўрнига “форма” сўзи ишлатилган. “Чизиқ” лотинча сўзидан олинган бўлиб, линеа (чизиқ), линум – шинур, арқон,зиғир ип деган маъноларини англатади. «Перпендикуляр»-лотинча сўз бўлиб, перпендиcуларис – «тик йўналган» деган маънони билдиради. Бу атама ўрта асрларда пайдо бўлган. «Биссектриса» - лотинча бўлиб, бис(иккиланган) ва сектрих (кесувчи)сўзларидан олинган. «Вертикал» (бурчак)- лотинча бўлиб, вертикалис- чўққи маъносини билдиради. «Радиус»- лотинча бўлиб, радиус –нур сўзидан олинган. “Диаметр”- юнонча бўлиб, диаметрос –орасини ўлчанган сўзидан келиб чиққан. «Ватар» (хорда) юнонча « корде» сўзидан олинган бўлиб, текис тортилган сим маъносини билдиради. «Медиана»- лотинча бўлиб, медиана – «ўрта» (чизиқ) маъносини билдиради. «Диоганал»- иккита юнонча «дио» орқали ва “гониос”- бурчак сўзларидан олинган.
Учбурчак энг содда ёпиқ тўғри чизиқли фигура, инсонларга энг қадимги замонлардан маълум бўлган фигуралардан бири бўлиб, ҳаётда доимо ўз татбиқини топган. Учбурчакларни тасвирлаш ва улар тўғрисидаги масалалар папирусларда, ҳинд китобларида ва бошқа қадимги қўлёзма ҳужжатларида учрайди. Қадимги Бобил ва Юнонистоннинг математик ҳужжатларида тўртбурчакнинг қуйидаги кўринишлари учрайди: квадратлар,тўғри тўртбурчаклар, тенг ёнли ва тўғри бурчакли трапетсиялар. «Ромб» сўзи юнонча бўлиб, унинг маъноси айланадиган жисм,(айлонадиган ўйинчоқ) ни билдирган. «Квадрат» атамаси лотинча бўлиб, қуадратиум – тўртбурчакли килиш, юнонча “ тетрагон” – тўртбурчакнинг таржимасидир. “Геометрия танишган биринчи тўртбурчак бу квадрат бўлган” –деб ёзади Д.Д. Мардикай Белтовский. - «Трапетсия» - юнонча сўз бўлиб , « столча » маъносини билдиради. «Негизлар» китобида «трапетсия» тушунчаси ихтиёрий тўртбурчак учун қўлланган «трапетсия» сўзи, биринчи қадимги юнон математиги Посидон асарларида учраган Ўрта асрларда трапетсияни Эвклиднинг фикри бўйича ихтиёрий тўртбурчак деб аталган, ХВИИ асрда эса хақиқий маносида қўлланган.
Айлана бу энг оддий эгри чизиқлардан биридир. Айлана энг кадимги геометрик фигуралардан хисобланади. Ўша пайтлардаги файласуф олимлар айланага катта ахамият беришган. Бобиллликлар ва хиндлар радиусни айлананинг энг муҳим элементи деб хисоблайдилар. Қадимда бу атама йўқ эди. Эвклид ва бошқа олимлар уни оддий қилиб «марказдан тўғри чизиқ» деб аташардилар. Юнонистон ва Бобилниннг архитекура ёдгорликларида куб, параллелепипед, призма каби геометрик фигуралар учраган. Юнонлар ва бобилликларнинг геометриясининг асосий максадларидан бири фазовий фигураларни хажмларини хисоблашдан иборат эди. Бу топшириқни улар уйлар, қалъалар ва мақбаралар қурганларида хал этишди. Куб, призма параллелпипед ва бошқа фазовий геометрик жисм ва фигураларни ўрганадиган геометрия қисми – қадимдан стереометрия деб аталади. Стереометрия сўзи юнонча сўз булиб «стереос»- фазовий, «метрео»- улчаш деган маъноларни билдиради. Ва биринчи юнон файласуфи Аристотел да учрайди . «Призма» атамаси юнонча сўз бўлиб арраланган, кесилган жисмни билдиради. «Параллеллипипедал жисм» биринчи Эвклидда учрайди унинг сўзма-сўз таржимаси « паралел теккис жисм» деган маъноларни билдиради. Юнонча «кубос» сўзини хам биринчи Эвклидда ишлатилган булиб хозирги «куб» сўзига тўғри келади. «Пирамида» атамаси юнонча сўз бўлиб « парамис» ёки «пирамидос» сўзларидан келиб чиққан. Ўз навбатида греклар бу сўзларни мисрликлардан олишган. Ахмес папирусида «пирамус» сўзи учрайди, пирамиданинг тўғри қирраси маъносида ишлатган. Бошқалар бу терминни «нон»нинг формасидан олинган дейилади («пирос»-буғдой) Оловнинг кўриниши хам пирамидага ўхшатишади ва ўрта аср олимлари «пир» олов дейишган. Шунинг учун ХВИИ асрлардаги китобларда пирамиданинг номи «олов шаклидаги жисм» дейишган. «ТЦилиндр» билан инсоният анчадан буён таниш . Бунга дарахтларнинг тагидаги тўнкалари туртки бўлган. Вақт ўтган сари бино Лотинча cонус сўзи грекча сўзнинг ўзлашмаси («конус»)-арча шишкаси, узунчоқ урчук(чарх) маъносини анлатади. Шарни геометрик жисм деб айтиш мумкин ва сфера англатади. Шар ва сфера грекча «сфейра» сўзидан келиб чиққан. Шар сўзининг келиб чиқиши талаффузда «СФ»нинг ўрнига «Ш» бўлиб кетган. «Теорема»-юнонча сўз бўлиб , «теорео» ўйлаб кўраман, деган маънони билдиради .