Математика тарихи

3- § Юнон математикасини дедуктив фан сифатида шаклланиши. Эвклиднинг
бошланғичлари
Режа:
1. Александрия илмий мактаби.
2. Аристотельнинг дедуктив фан контсептсияси.
3. Эвклид “Бошланғичлар”ининг структураси ва уни математикани
ривожлантиришдаги роли.
4. Антик давр ва ХИХ –ХХ аср математикасидаги аксиоматик позитсия.
Э.о. 323 йили Александр Македонский Вавилонда вафот этади. Унинг лашкарбошилари
катта империяни бўлиб оладилар. Мисрда Птоломейлар ҳукмдорлиги ўрнатилади.
Александрия шаҳри денгиз бўйида жойлашганлиги яъни порт шаҳри бўлгани, техникани
жамлаганлиги савдо – сотиқ учун қулайлиги уни янги давлатнинг хўжалик ва
бошқариш марказига айлантирди. Бу қулайликлар Птоломейларни Александрия шаҳрида
илмий – ўқув маркази – Музеён ташкил этишга , бу марказга йирик олимларни
жамлаш (ойлик тўлаш асосида) илмий ишларни ва ўқитиш ишларини йўлга қўйишни ташкил
этди. Бу Музеён 700 йил давомида илмий марказ бўлиб қолди ва бу эрда 500
мингдан ортиқ қўлёзмалар жамланди. Шундан сўнг реактсионер христианлар томонидан
бошқа тиллик олимлар қувғин қилинди ёки ўлдирилди, Музеённи эса таладилар ва
охири ўт қўйдилар. 700 йил давомида бу илмий марказда кўплаб антик олимлар ишладилар.
Булардан: Эвклид (е.о. 360 – 283), Аполлоний (е.о. 260), Диофант (е.о. 250), Эратосфен
(е.о. 250), Менелай (е.о.100), ўерон (е.о. И-ИИ), Птоломей (е.о.150), Аристотель
(е.о. 384 – 322) ва бошқалар.
23
Конкрет масалаларни эчишда абстрактлаш, бир хил типдаги масалаларни эчиш
натижасида математикани ранг-баранглиги ва мустақиллиги ошкора бўла бошлади. Бу
фактлар математик билимларни системалаштириш ва унинг асосларини мантиқий кетмакетликда
баён этиш заруриятини қўйди.Бу вазифани муваффақиятли ҳал қилишда Аристотелнинг
фалсафий дунёқарашлари, ҳамда мантиқ фанининг ютуқлари катта роль
ўйнади. Бу даврга келиб фикрлашнинг асосий формалари шаклланган, системалашган
ва илмий ишлаб чиқарилган бўлиб, дедуктив фан қуришнинг асосий принтсиплари илгари
сурилган эди. Бу принтсипга кўра мантиқан мураккаблашиб борувчи фан аксиомалар
системаси асосида қўрилиши керак. Математика эса айнан шундай фан эди.
Шундан сўънг математика “Бошланғичлар” кўринишида айнан дедуктив
метод асосида яратила бошлади. Биз шулардан энг машҳур асар билан танишайлик.
Эвклиднинг ўзи Аристотель принтсипи асосида китоб ёзишни мақсад қилиб қўйган
бўлса керак, натижада эса математик билимлар энтсиплопедияси вужудга келади.
Бошланғичлар 13 та китобдан иборат. Буларнинг ҳар бирида теоремалар кетмакетлиги
бор.
И – китоб: таъриф, аксиома ва постулатлар берилган.Бошқа китобларда фақат
таърифлар учрайди (2-7,10,11).
Таъриф – бу шундай жумлаки, унинг ёрдамида автор математик тушунчаларни
изохлайди. Масалан: “ нуқта бу шундайки, у қисмга эга эмас” ёки
“куб шундай жисмки, у тенг олтита квадрат билан чегараланган”.
Аксиома – бу шундай жумлаки, унинг ёрдамида автор миқдорларнинг тенглиги
ва тенгсизлигини киритади. Жами аксиомалар 5 та бўлиб, булар Эвдокс аксиомалар
системасидир:
1. а = в, в= с а = с ;
2. а = в, с а + с = в +с;
3. а = в, с а –с = в – с
4. а = в в = а;
5. Бутун қисмдан катта.
Пастулат – бу шундай жумлаки, унинг ёрдамида геометрик ясашлар тасдиқланади
ва алгоритмик оперatsiялар асосланади. Жами постулатлар бешта:
1. ғар қандай икки нуқта орқали тўғри чизиқ ўтказиш мумкин.
2. Тўғри чизиқ кесмасини чексиз давом эттириш мумкин.
3. ғар қандай марказдан исталган радиусда айлана чизиш мумкин.
4. ғамма тўғри бурчаклар тенг.
5. Агар бир текисликда ётувчи икки тўғри чизиқ учинчи тў¼ри чизиқ билан
кесилса ва бунда ички бир томонли бурчаклар йиғиндиси 180дан кичик
бўлса, у ҳолда тўғри чизиқлар шу тарафда кесишади.
Энди “Бошланғичлар” нинг мазмуни билан танишайлик.
И – ВИ китоблар планаметрияга бағишланган.
ВИИ – ИХ китоблар арифметикага бағишланган.
Х – китоб биквадрат ирратсионалликларга бағишланган.
ХИ – ХИИИ китоблар стереометрияга бағишланган.
24
И – китобда асосий ясашлар, кесмалар ва бурчаклар устида амаллар, учбурчак,
тўртбурчак ва параллелограмм хоссалари ҳамда бу фигуралар юзаларини таққослаш
берилган бўлиб, Пифагор теоремаси ва унга тескари теорема билан якунланади.
ИИ – китоб геометрик алгебрага бағишланган бўлиб, бунда тўғри
тўртбурчак ва квадрат юзлари орасидаги муносабатлар алгебраик айниятларни интерпритатсия
қилиш учун бўйсундирилган.
ИИИ – китоб айлана ва доира, ватар ва уринма, марказий ва ички чизилган бурчаклар
хоссаларига бағишланган.
ИВ – китоб ички ва ташқи чизилган мунтазам кўпбурчаклар хоссаларига
бағишланган. Мунтазам 3, 4, 5, 6 ва 15 бурчакларни ясашга бағишланган.
В – китоб нисбатлар назарияси билан бошланиб (Евдокс назарияси бўлиб, ҳозирги
замон ҳақиқий сонлар назариясининг Дедекинд кесмаларига мос келади), пропортсиялар
назарияси ривожлантирилган.
ВИ – китоб нисбатлар назариясининг геометрияга татбиқ этилиб умумий асосга
эга бўлган тўғри тўртбурчаклар ва параллелограмм юзаларининг нисбатлари, бурчак
томонларини параллел тўғри чизиқлар билан кесганда ҳосил бўладиган кесмаларнинг
пропортсионаллиги, ўхшаш фигуралар ва улар юзаларининг нисбати ҳақидаги теоремалар
қаралади. Юзалар учун эллиптик ва гиперболик тадбиқларга доир теормелар берилган
бўлиб, х С
с
в
ах 2 (а, в, с–берилган кесмалар, С –юза, х–номаълум кесма)
кўринишдаги тенгламаларни геометрик эчиш методи берилган.
ВИИИ – китоб-олдинги назария давом эттирилиб узлуксиз сонли пропортсиалар билан
н
н 1
2
1
1 а
а
...
а
а
а
а
ИХ-китоб якунланади. ўеометрик прогрессия ва унинг ҳадлари
йиғиндисини топиш усули берилади.Кўъпгина қисми туб сонларга бағишланган бўлиб,
бу тўъплам чексиз эканлиги исботи мерос қолган. Сонларнинг жуфт ва тоқлик хоссалари
қаралади. Сўнгида эса ушбу теорема билан якунланади. Агар
н
в 0
к 2 С
кўринишдаги сон туб бўлса, у қолда С1=С*2н сонлар мукаммал бўълади. Бу теорема
исботланмаган.
Х – китоб а в кўринишидаги ирратсионалликларни 25 та классификatsiяси берилган.
Бундан ташқари бир қанча леммалар берилган бўлиб, буларни ичида инкор этиш
(исчерпывание) методининг асосий леммаси, яъни агар берилган миқдордан ўзининг
ярмидан кўпини айириб ташланса ва қолгани учун яна шу протсесс такрорланса, у
қолда этарлича кўп қадамдан сўнг олдиндан берилган миқдордан кичик бўладиган
миқдорга эга бўлиш мумкин. Яна чекланмаган миқдорда ”Пифагор сонларини “
топиш усули, иккита ва учта ратсионал сонларнинг умумий энг катта ўълчовини топиш,
икки миқдорда ўлчамлик критерияси берилган.
Сўнги уч китоб (ХИ –ХИИИ) стереометрияга бағишланган бўлиб, булардан ХИкитобда
бир қанча таърифлар берилган. Сўнг тўғри чизиқ ва текисликларнинг фазода
25
жойлашувига оид қатор теоремалар хамда кўпёқли бурчаклар қақида теоремалар берилган. Охирида параллелепипед ва призма қажмларига доир масалалар берилган.
ХИИ китобда фазовий жисмларнинг муносабатлари ҳақидаги теоремалар инкор этиш методи ёрдамида берилади.
ХИИИ – китоб бешта мунтазам кўпёқликларни; тетраедр(4 ёқли), гексоедр (6 ёқли), октаедр (8 ёқли), додекаедр (12 ёқли), икосаедр (20 ёқли) ясаш усуллари ва шар ҳажми ҳақидаги маълумотлар берилган. Энг сўнггида бошқа мунтазам кўпёқликлар мавжуд эмаслиги исботланади.
Китобнинг ютуқ ва камчиликлари:
1. Муҳокама усули синтетик, яъни маълумдан номаълумга бориш усули.
2. Исботлаш усули- масала ёки теорема баён этилади, бунга мос чизма берилади, чизмада номаълум аниқланади, зарур бўлса ёрдамчи чизиқлар киритилади, исботлаш протсесси бажарилади, якун ясаб сўнг хулоса чиқарилади.
3. ўеометрик ясаш қуроли – тсеркуль ва чизғич бўлиб, булар ўлчаш қуроли эмас. Шунинг учун кесма, юза, ҳажмларни ўлчаш эмас, балки уларни муноса-батлари устида иш юритилинади.
4. Баён этиш усули – тили соф геометрик бўлиб, сонлар ҳам кесмалар орқали берилган.
5. Конус кесимлар назарияси, алгебраик ва транстсендент чизиқлар ҳақида маълумотлар йўқ.
6. Ќисоблаш методлари умуман берилмаган.
7. Бошидан то охиригача аксиоматик баён этиш усулига қурилган.
8. Идеалистик философия тендентсияси асосида баён этилиши ва ўта мантиқийлиги.
Шунга қарамасдан «Бошлан¼ичлар» қарийиб 2000 йил давомида бутун гео-метрик изланишларнинг асоси бўлиб хизмат қилади.
Юқоридаги кичикликларни бартараф этиш ва ўсиб бораётган математик қатъийликни таъминлаш учун жуда кўп уринишлар бўлди. Бунга мисол 1882 йили Паша ишлари, 1889 йили Пеано ишлари, 1899 йили Пиери ишларини айтиш мумкин. Лекин 1899 йили ўильбертнинг “ўеометрия асослари” да келтирилган аксиомалар системаси ҳамма то-мондан тан олинди. Асосий тушунчалар: нуқта, тўғри чизиқ, текислик, тегишли, ораси-да, конгруент. Бешта группа аксиомалар: 8 та бирлаштирувчи ва тегишлилик; 4 та тар-тиб; 5 та конгруентлик ёки ҳаракат; 2 та узлуксизлик. Булар Эвклидникига қараганда юқори даражада предметларни фазовий ва миқдорий абстрактсиялаш имконини беради.
Текшириш саволлари:
1. Кубни иккилантириш масаласи нимадан иборат?
2. Бурчакни учга бўлишга доир масалалардан намуна келтиринг.
3. Доирани квадратлаш нима?
4. Муаммони кейинги ривожи қандай кечган?