§3.3 да нокритик МТЖ
Pij (t)
ўтиш эҳтимолликларининг асимптотик
кўриниши ва ушбу жараён инвариант ўлчовларининг ҲФлари
орқали ифодаланиши кўрсатилган. Хусусан, барча i ∈ N учун
A(s)
функция
M (t;s) =
Pij (t) s j
→iqi−1 ⋅ M(s),
t → ∞ ,
i ∑ P
(t)
бунда
M( s)
j ∈ N
функция ушбу
11
j ∈ jN
M( s) = ∑ µ s j
даражали қаторга ёйилади
ҳамда унинг {µ j }
номанфий коэффициентлари
Z(t)
жараён учун инвариант
тақсимот ташкил этади. Қуйидаги теоремалар исботланган.
Теорема 14. Агар a ≠ 0 ва [A] шарт бажарилса, у ҳолда
a0
A(s)
M(s) = ⋅ 1 −
A(0) ,
бунда A(s) функция (4) тенглик билан берилган.
Теорема 15. Агар a = 0 ва f ′′(s ↑ 1) =: 2b < ∞ бўлса, у ҳолда
M(t;s) = a0
b
⋅ s
1 − s
+ α(t;s) ,
бунда α(t;s) = O (1 t), t → ∞ , текис ҳолда барча 0 ≤ s ≤ r
< 1 учун.
t → ∞ бўлганда
O(βt )
тартибда нолга яқинлашиб боришини кўрсатади ва
бу эҳтимолликларнинг асимптотик ёйилмасини аниқлаб беради.
Теорема 16. Агар a ≠ 0 ва [A] шарт бажарилса, барча i, j ∈ N учун
ij
β−tP (t) =
A(0) iqi−1µ
M(q) j
(1 + O(1)),
t → ∞,
бунда A(s) функция (4) тенглик билан берилган.
Параграф давомида шунингдек,
Z(t)
жараённинг хоссалари узлуксиз
вақтли Марков занжирлари ҳолатларининг умумий классификацияси нуқтаи
назаридан таҳлил килинган. Ушбу S := {j ∈ N : P1j ( t) > 0, t ∈ T } тўпламни
киритайлик. Маълумки, узлуксиз вақтли Марков занжирининг ўтиш эҳтимолликлари экспоненциал равишда нолга камайиб борса, ихиёрий i ∈ S ҳолатга боғлиқ бўлмаган ушбу
λ = −lim ln Pii ( t)
S t →∞ t
миқдор бу занжир ҳолатларининг “парчаланиш даражаси”ни тавсифлайди ва парчаланиш параметри деб аталади. Бу ҳолда қаралаётган занжирнинг инвариант ўлчови λ S -инвариант ўлчов деб аталади. Занжирнинг ҳолатлари
∫ +∞ eλStP ( t) dt
0 ii
хосмас интегралнинг қиймати бўйича синфларга ажратилади. Агар бу
интеграл қиймати ∞ бўлса, ўтиш эҳтимолликлари
Pij ( t)
бўлган Марков
занжири λS -қайтувчи деб аталади. Интегралнинг қиймати чекли бўлса, занжир λS -қайтмас деб аталади. Қайтувчи ҳолатлар классификациясига
ii
мувофиқ, агарда limt →∞
eλStP (t) > 0
бўлса, i ∈ S ҳолат λS
-мусбат қайтувчи
дейилади, акс ҳолда λS -ноль қайтувчи деб аталади.
Қуйидаги теорема ўринли.
Теорема 17. Агар a ≠ 0 ва [A] шарт бажарилса, у ҳолда
λS = ln β
ва Z(t)
жараён ҳолатлари λS -мусбат. ҲФ
M(s) яратган сонлар {µ j }
ягона
(ўзгармас кўпайтувчи аниқлигида) λ S -инвариант ўлчов ташкил этади.
Энди ушбу
P~ij (t) := Pi { Z(t) = j t < H < ∞}
ўтиш эҳтимолликларини ва уларга мос ҲФ ни киритайлик:
i
V (t;s) = ∑P~ij (t)s j .
j ∈ N
Қуйидаги теоремалар исботланган.
Теорема 18. Агар a ≠ 0 бўлса, у ҳолда i ∈ N ҳолатга боғлиқсиз ушбу
20
lim P~ij (t) = νj,
j ∈ jN
t →∞
j ∈ N ,
лимит мавжуд ва ҲФ
V(s) = ∑ ν s j
барча s ∈ [0,1) учун ушбу
кўринишга эга бўлади, бунда
Теорема 19. Агар a = 0
V(s) = M(qs)
M(q)
M(s) функция Теорема 14 да аниқланган.
ва 2b := f ′′(s ↑ 1) < ∞ бўлса, барча i ∈ N учун
= ⋅
tV (t;s) 1 1 + ρ(t;s),
t → ∞ ,
i b 1 − s
бунда t → ∞ бўлганда барча s ∈ [0,1) учун текис ҳолда
ρ(t;s) = O (1 t).
аниқланган
Z~( t)
тасодифий жараён эргодик Марков занжири ташкил
этишини кўрсатади.
§3.3 да узлуксиз вақтли иммиграцияли Марков тармоқланувчи жараёнлари (ИМТЖ) қаралган. Бу жараёнлар заррачаларнинг эволюцияси билан бирга тасодифий механизм билан бошқарилувчи бир хил типдаги заррачаларнинг шундай оқими ҳисобига ривожланиб борадики, қисқа (t,t + ε) вақт оралиғида популяцияга bj ε + O(ε) эҳтимоллик билан j ∈ N дона
заррача кириб келади. Иммиграция оқими 1 + b0ε + O(ε) эҳтимоллик билан
0 < −b0
= ∑j ∈N bj < ∞
шартлар ўринли. Иммигрант-заррачалар эволюцияси
келажакда {aj }
интенсивлик қонуни бўйича амалга ошади. Шундай қилиб,
ИМТЖ қуйидаги иккита инфинитезимал ҲФлар билан берилади:
j
f (s) = ∑ a s j ва
j ∈N0
g(s) = ∑ b s j .
j
j ∈N0
Ушбу
X(t)
миқдор билан t вақтдаги заррачалар сонини ифодаласин.
ИМТЖ ҳолатлари N0
тўпламда узлуксиз вақтли бир жинсли Марков
дейилади, агарда мос равишда
a < 0 ,
a = 0
ва a > 0
бўлса. ИМТЖнинг
марковча табиатига кўра унинг ўтиш эҳтимолликлари
pij (t) := Pi {X(t) = j}
қаноатлантиради. Мос ҲФ эса қуйидаги тенглик билан ифодаланади:
P(t;s) := ∑ p (t)s j = [F(t;s)]i exp{∫ t g (F(τ;s))dτ},
i ij
j ∈N0 0
бунда F(t;s) = EsZ(t) иммиграциясиз МТЖнинг ҲФидир.
Нокритик ҳолда
X(t)
жараённинг хоссалари узлуксиз вақтли Марков
j
занжирлари ҳолатларининг умумий классификациясига мувофиқ таҳлил
килинган. Хусусан,
a ≠ 0 ва
∑j ∈N
b q j ln j < ∞
бўлганда
X(t)
жараённинг
парчаланиш параметри
λX =
g(q)
ва унинг ҳолатлари
λX -мусбат қайтувчи
бўлиши кўрсатилган. Ушбу
υ := lim p0 j (t)
p
j t →∞
00
(t)
сонлар ягона (ўзгармас кўпайтувчи аниқлигида)
λX -инвариант ўлчов ташкил
этиши исботланган. Бундан ташқари, юқоридаги шартларда s ∈ [0,q) учун
i
eλXt ⋅ P(t;s) →qi ⋅ C(s),
t → ∞
(5)
j ∈N0 j
яқинлашиш бажарилиб, C(s) = ∑ σ s j
ҲФ ушбу
C(s) = exp∫ q g(x) − g(q)dx
s
кўринишга эга бўлиши исботланган.
f (x)
Қуйидаги теоремада критик ҳолда А.Пэйкс томонидан
∑j ∈ N
a j2 ln j ва
j
∑j ∈N bj j ln j
моментлар чекли бўлганда исботлаган тасдиқ кучсизроқ
шартларда ҳам ўринли бўлиши исботланган.
Теорема 20. Агар
a = 0 ,
2b := f ′′(s ↑ 1) < ∞ ва
α := g ′(s ↑ 1) < ∞
бўлса, барча i ∈ N ва барча s ∈ [0,1) қийматлар учун
i
t λP(t;s) → π(s), t → ∞,
бунда λ = α b
ва π(s) = ∑ π s j
ҲФ қуйидаги кўринишга эга:
j ∈N0 j
1
1 g(u)
λ
π(s) =
λ exp∫
+
du.
[b(1 − s)]
s
f (u) 1 − u
Бу ҲФ X( t) жараён учун {π j }инвариант ўлчов яратади.
Do'stlaringiz bilan baham: |