Математика институти

N₀ = {0} ∪ N ва
N = {1,2,…} . Жараённинг i ∈ N

ҳолатдан j ∈ N ҳолатга n ∈ N қадамда ўтиш эҳтимоллигини эса ушбу

^{Pij (n) := Pi} {^{Zn
= j} }
орқали белгилаймиз. Г-В жараёни қуйидаги эҳтимолий

ҳосил қилувчи функция (ҲФ) билан тўла аниқланади:

k
F(s) = _∑ p s^k , s ∈ [0,1),

бу ерда

p_k = P_1k (1) ва
^∑k ∈N ^pk
k ∈N₀
= 1. Агар
^∑k ∈N ^kpk

қатор яқинлашса, ушбу

0
A := _{∑k ∈N} kp_k
= EZ₁
сон битта заррача авлодлари сонининг ўртача

қийматини билдиради. Тармоқланувчи жараёнларнинг классификациясига

^{мувофиқ қаралаётган Г-В жараёни} {^Zn }
субкритик, критик ва суперкритик

жараён деб аталади, агарда мос равишда A < 1, A = 1 ва A > 1 бўлса.

^{Қаралаётган} {^Zn }
жараённинг емирилиш эҳтимоллиги q ва
β := F ^′(q)

бўлсин. §1.2 да нокритик жараён учун қуйидаги лимит теорема олинган.

Теорема 1. Агар A > 1 ёки A < 1 ва B < ∞ бўлса,
p₁ ≠ 0
бўлганда

ij
β⁻ⁿP (n) =
A(0)

j
_∑ µ q^m
_iqi−1_µ
(^{1 + O(1)})^,
n → ∞,

m∈N ^m

бунда i, j ∈ N ва µ _j
= lim_{n →∞} P_1j (n)
P₁₁(n) < ∞ ҳамда

 ₁
A(s) = _
δ−1
⁺ 

^q − s
бўлиб, δ = δ(s) = 2 lim ^R⁻¹(s)βⁿ − (q − s)^−1 .
2^

n →∞ ^{ n }

Ушбу
^P~ij ^{(n) := Pi} {^{Zn
= j n < H < ∞}}
ўтиш эҳтимолликлари ёрдамида

_{Z^~n ,n ∈ N_}
тасодифий жараённи аниқлайлик, бу ерда
^{H := min}{^{n : Zn
= 0}}

^{тасодифий миқдор} {^Zn }
жараённинг емирилиш моментидир. Мазкур

параграфда ушбу
{^Z~n }
жараён эргодик Марков занжири бўлиши

кўрсатилган. Қуйидаги ҲФни киритамиз:

n
^{V(i)(s) =} _∑^P~ij ^{(n)s j .}
j ∈N
^{Маълумки, нокритик ҳолда ушбу νj := limn→∞ P~}ij ⁽ⁿ⁾

лимит мавжуд ва унга

j ∈N ^j
мос ҲФ V(s) = _∑ ν s ^j
барча s ∈ [0,1) қийматларда ушбу
^{1 − V} ^{ F(qs)}^{ = β ⋅} [^{1 − V(s)}]

(1)

 _q ^

 
Шредер тенгламасини қаноатлантиради ва
^∑j ∈N ^νj

= 1 . Маълумки, (1)

тенгламани қаноатлантирувчи
V(s)
функция
^P~ij ⁽ⁿ⁾
ўтиш эҳтимолликларига

нисбатан инвариант ўлчов яратади. §1.2 да
V(s)
ҲФнинг аниқ кўринишлари

топилган. Хусусан, F ^′′(s ↑ 1) < ∞ шартда нокритик ҳол учун
12

V(s) = 1 − ^A(qs)
A(0)

бўлиши кўрсатилган, бунда
A(s)
функция Теорема 1 да берилган. Бундан

ташқари
P_ij (n) ва
^P~ij ⁽ⁿ⁾
ўтиш эҳтимолликлари қуйидаги тенгликни

қаноатлантириши кўрсатилган:
^{Pij (n) = P~}ij ^{(n) ⋅} _∑^Pik
k ∈N

(n)q^k−j .

§1.3 да Г-В жараёни иккинчи тартибли
F ^′′(s ↑ 1)
моментнинг чекли

бўлиш шартидан фойдаланмасдан, Карамата маъносидаги секин ўзгарувчи функция (С-функция) лар назарияси ёрдамида ўрганилган. Тармоқланувчи жараёнларни ўрганишда С-функциялар назарияси илк бор В.Золотарёв томонидан қўлланилган. С-функцияларнинг тадбиқлари бўйича дастлабки эълон қилинган ишлар рўйхатига Р.Слэйк ва Е.Сенетанинг XX аср 70- йилларида эълон қилган ишларини киритиш мумкин. С-функцияларнинг тадбиқлари бўйича батафсил маълумотлар С.Асмусен ва Г.Геринг, шунингдек Н.Бингҳам, К.Голди ва Дж.Тёгелсларнинг монографияларида келтирилган. Бундан кейинги матн давомида нол ва чексизликда С-хоссали
функциялар синфини мос равишда S₀ ва S_∞ символлар орқали белгилаймиз.
Нокритик ҳолда маълумки, қуйидаги муносабат ўринли:
1 − V(x) = (1 − x)l_ϑ(1 − x), (2)

бунда
l_ϑ (x) ∈ S₀
ҳамда ушбу
^E[^{Z1 ln Z1} ] ⁼ _∑ ^{pj j ln j < ∞}
j ∈N


[A ]

шартнинг бажарилиши
m := V^′(s ↑ 1)
чекли моментнинг мавжуд бўлиши

учун зарур ва етарли бўлади.

Барча
s ∈ [0,1)
қийматлар учун ушбу
F (s) = Es^Zn
ҲФни қараймиз ва

n

n
R_n (s) := 1 − F^{^}(s)
белгилашни киритиб олайлик, бунда
F^{^}(s) = F (qs) q .

n n
Қуйида келтириладиган леммада нокритик Г-В жараёни учун функциянинг асимптотик ёйилмаси топилган.
Лемма 1. Агар A ≠ 1 бўлса, у ҳолда
R_n (s)

R (s) = (1 − s)L (1 − s) ⋅ βⁿ ,
n n
бунда ихтиёрий n ∈ N учун L_n (x ↓ 0) = 1 ва ҳар қандай тайинланган n₀ ∈ N

0
учун L_n (x) =: L(x) ∈ S₀ . Агар [A] шарт бажарилса, L_n (1) ↓ 1 m , n → ∞ .
Лемма 1 нокритик Г-В жараёнининг асимптотик хоссаларини ўрганишда

муҳим роль ўйнайди. Хусусан,
V(0) = 0
ва q − F_n (qs) = qR_n (s)
эканлигидан

s = 0
бўлганда қуйидаги формула келиб чиқади:

a
P{n < H < ∞} = q ⋅ l (βⁿ )⋅ βⁿ ,

бунда
l_a (s) ∈ S₀
ва агар [A] шарт бажарилса, L_n (1) ↓ 1 m , n → ∞

Қуйидаги локал лимит теорема исботланган.
13

Теорема 2. Агар A ≠ 1 ва
p₁ ≠ 0
бўлса, у ҳолда барча i, j ∈ N учун

ij j

a
β⁻ⁿ ⋅ P (n) = iqⁱ⁻¹µ V^′(0)⋅ l
(βⁿ ) + O(βⁿ ),
n → ∞,

бунда
l_a (s) ∈ S₀ . Агар [A] шарт бажарилса,
l (βⁿ ) → 1 m , n → ∞ .

a
Критик ҳолда F(s) ҲФ барча s ∈ [0,1) қийматлар учун ушбу

F(s) = s + (1 − s)^1+ν L ^{ 1 }



[^ℜ ]

^1 − s ^
кўринишга эга бўлсин деб ҳисоблаймиз, бунда 0 < ν ≤ 1 ва
ν
L(t) ∈ S_∞ . Бу

кўриниш
F ^′′(s ↑ 1) = ∞ бўлганда Г-В жараёнининг асимптотик хоссаларини

ўрганиш имконини беради. Мазкур ҳол учун критик Г-В жараёнининг
қуйидаги Асосий леммаси исботланган.
^{Лемма 2. Агар A = 1 ва} [^ℜν ] ^{шарт бажарилса, у ҳолда}

R_n (s) =
^N (^{n + M(s)}) ^

⋅
1
_— M_n (s) ^ _,


_^ νn ^_

бунда
N (n) ∈ S_∞ функция қуйидаги шартни каноатлантиради:

ν _^(νx)1 ν _^

N (x)⋅ L _{ } →1, x → ∞ . [ N ]

Бу ерда барча
^_ N (x) ^_
s ∈ [0,1) учун текис ҳолда M_n (s) → M(s)


бўлиб, бунда


M(s)

функция
^M (^F(0)) ^{= 1}
шартда
^M (^F(s)) ^{= M(s) + 1}
Абель тенгламасини

қаноатлантиради. Бу функция учун қуйидаги муносабат ўринли:

M(s) =
1 + O(1) _,

ν(1 − s)^ν L ₍1 (1 − s)₎
s ↑ 1 .

Ихтиёрий тайинланган n ∈ N қийматда M_n (0) = 0 ва M_n (s ↑ 1) = νn .
Юқоридаги лемма критик тармоқланувчи Г-В жараёнининг асимптотик хоссаларини ўрганишда муҳим роль ўйнайди. Хусусан, бу лемма қуйидаги лимит теоремани исботлаш имконини берган.
Теорема 3. Агар Лемма 2 нинг шартлари бажарилса, у ҳолда

n
^{νn ⋅ V(i)(s) = M(s)}(^{1 + o(1)})^,
n → ∞,

бунда
M(s)
функция
M(s) = _∑ m s ^j
ёйилмага эга бўлиб, _{m_{j }}
сонлар Г-В

j ^j∈N
жараёни учун инвариант ўлчов ташкил этади ва
^∑j ∈N ^mj
= ∞ .

Қўшимча шартлар
L(x)
функцияга қўйилганда Лемма 2 нинг тасдиғини

аниқлаштирувчи натижа олинган. Бунинг учун
L(x)
функцияга қуйидаги

талаблар қўйилган. Шартга кўра
L(x) ∈ S_∞ , ва С-функция таърифига кўра,

ихтиёрий λ > 0 учун қуйидаги тенглик ўринли бўлади:

L(λx)
L(x)
= 1 + α(x), [L_α ]

14

бунда x → ∞ бўлганда
α(x) = O ₍1 ϕ(x)₎ ва
ϕ(x)
ўсувчи мусбат функция

бўлиб,
ϕ(x) → ∞ ҳамда бирор
γ > 0
ва X > 0
сонлар учун x ^−γϕ(x) функция

x > X
қийматларда кенг маънода камаювчи. Юқоридаги [L_α ]
шарт

бажарилганда L(x) функция α(x) қолдиқ ҳадли С-функция деб аталади.

Белгилаш киритамиз:
_{Λ(y) := yνL }^ 1_^ ₌ F(1 − y) − (1 − y)_,





y ∈ (0,1].

^{Лемма 3. Агар} [^ℜν ]
^y ^
шарт ва [L_α ]
y
шарт
α(x) = O ₍L(x)
_x ν ₎


қолдиқ ҳад

билан бажарилса, у ҳолда қуйидаги асимптотик ёйилма ўринли бўлади:

^Λ(^Rn(s)) ⁼
Λ(1 − s)
^_{ + O } ln n _^_,

1

^{ }


 
n → ∞.

Λ(1 − s)νn + 1 ^ n ^

Охирги тасдиқ F ^′′′(s ↑ 1)
моментнинг чекли бўлиш шарти остида исботи

маълум бўлган критик тармоқланувчи Г-В жараёнлари назариясининг қолдиқ ҳади баҳоланган Асосий леммаси тасдиғининг аналогидир.
Лемма 3 ёрдамида қуйидаги локал лимит теорема исботланган.

Теорема 4. Агар
A = 1 ва
p₁ ≠ 0
шартлар билан бирга Лемма 3 нинг

барча шартлари бажарилса, қуйидаги асимптотик ёйилма ўринли бўлади:

11
_n1+1 ν _{⋅ P}
(n) =
N (n) ^_

1

_{+ O } ln n _^_,

^{ }
 
n → ∞ ,

p₀ ^ n ^

бунда
N (x) ∈ S_∞
функция [ N ] шартни қаноатлантиради.

§1.4 да тармоқланувчи жараёнлар назариясининг лимит теоремаларини исботлашда Стейн-Тихомиров усулининг қўлланилиш имкониятлари намойиш этилган. Хусусан, бу усул билан қуйидаги теорема исботланган.

Теорема 5. Агар
A ≠ 1
бўлса, ушбу
V(s) = lim



n
n→∞
V⁽ⁱ⁾(s)
ҲФ барча

s ∈ [0,1) учун мавжуд ҳамда V(0) = 0 ва V(1) = 1 . Бундан ташқари
1 − V⁽ⁱ⁾(s)

ⁿ → l(1 − s), 1 − s
n → ∞ ,

бунда
l(x) ∈ S₀ . Агар [A] шарт бажарилса, l(x
↓ 0) = m
ва l(1) = 1 .

Биринчи бобнинг охирги икки параграфи иммиграцияли Г-В (ИГВ) жараёни ўтиш эҳтимолликларининг лимит хоссаларини ўрганишга бағишланган. ИГВ жараёни иккита эҳтимолий ҲФ билан аниқланади. Агар
ҲФ F(s) заррачалар эволюцияси қонунини аниқласа, иммигрант-заррачалар

оқимини
G(s) := _∑ h s ^j
ҲФ тавсифлайди. Авлодлар сони кетма-кетлиги

j ∈N₀ ^j
{^Xn }
ҳолатлар фазоси
S ⊂ N₀
бўлган бир жинсли Марков занжирини

p s
ташкил этади. Унинг ўтиш эҳтимоллигини
^{p(n) := P} {^{X
= j}}
ва мос ҲФни

ij i n

n
P⁽ⁱ⁾(s) := _∑


j ∈S
(n) j ij
деб белгилаймиз. ИГВ жараёни субкритик, критик ва

суперкритик дейилади, агарда мос равишда A < 1, A = 1 ва A > 1 бўлса.

15