Математика институти

§3.5 нинг асосий натижаси қуйидаги теорема бўлиб, унда (5) тасдиқдаги
яқинлашиш тезлиги баҳоланган.

Теорема 21. Агар
a ≠ 0
бўлганда
^∑j ∈N
b q ^j ln j < ∞
ва [A]
шарт

j
бажарилса, у ҳолда барча i ∈ N учун

|g (q )|t i
_^ _^g ^′(q)
_{i }


t ^

e P_i (t;s) ∼ q C(s)⋅ _1 + _
— _A(0)⋅ β _,
t → ∞ ,

_^{ }_ ln β
_{q } _

бунда β := exp_{f ^′(q)_}
ва A(s) функция (4) тенгликда аниқланган.

§3.6 да МТЖ
Z(t)нинг хоссаларини ўрганиш
f ^′′ (s ↑ 1) = ∞ бўлган

шартда давом эттирилган. Боб аввалидаги мулоҳазалардан келиб чиқадики,
нокритик ҳолда Теорема 18 да аниқланган _{ν_{j }} инвариант тақсимотнинг

m := V^′(s ↑ 1) = _∑ jν_j =
q



A(0)

j ∈N
чекли математик кутилмага эга бўлиши учун [A]
зарур ва етарли бўлади.
шартнинг бажарилиши

22

Ушбу F^{^}(t;s) = F(t;qs) q
ҲФни қарайлик, бу ерда q сон МТЖ емирилиш

эҳтимоллиги. Бу ҲФ
q < 1
бўлганда субкритик иммиграциясиз МТЖни

тавсифлайди. Қуйидаги леммада нокритик ҳолда
R^{^}(t;s) = 1 − F^{^}(t;s)
функциянинг асимптотик ёйилмаси топилган.
Лемма 5. Агар a ≠ 0 бўлса, у ҳолда барча s ∈ [0,1) учун

β
R^{^}(t;s) = (1 − s)l (t;1 − s)⋅ β^t ,

бунда барча t ∈ T қийматлар учун
l_β (t;x ↓ 0) = 1
ва, ҳар қандай

тайинланган
t₀ ∈ T қийматда
l_β (x) := l_β (t₀;x) ∈ S₀ . Агар [A]
шарт

бажарилса, t → ∞ бўлганда
^{l (t;1) = l} (^βt ) ^{→ 1 m .}

β a
Жараён критик бўлган ҳолда қийматлар учун ушбу
f (s)
инфинитезимал ҲФ барча
s ∈ [0,1)

f (s) = (1 − s)^1+ν L ^{ 1 }



[^ℜ ]

^1 − s ^
кўринишга эга бўлсин деб ҳисоблаймиз, бунда 0 < ν < 1 ва
ν
L(t) ∈ S_∞ . Бу

кўриниш
f ^′′(s ↑ 1) = ∞ бўлганда критик МТЖининг асимптотик

хоссаларини ўрганиш имконини беради. Мазкур ҳол учун критик
МТЖнининг қуйидаги Асосий леммаси исботланган.

Лемма 6. Агар a = 0
^ва [^ℜν ] ^{шарт бажарилса, барча s ∈ [0,1) учун}

R(t;s) =
N (t) _⋅ ^_{1 −} M(t;s)^_,




 _νt 

бунда
N (x)
функция [ N ]
шарт билан аниқланган.
M(t;s)
функция учун

M(t; 0) = 0
ҳамда t → ∞ бўлганда
M(t;s) → M(s) ва
M(s) = _∑ m s ^j ҲФ

j ∈ ^jN
қуйидаги кўринишга эга бўлади:
M(s) = _∫ s ^dx

. (6)

⁰ f (x)

Юқоридаги иккита лемма
Z(t)
тасодифий жараённинг асимптотик

хоссаларини ўрганишда муҳим роль ўйнайди. Хусусан, бу леммалар ёрдамида қуйидаги локал лимит теоремалар исботланган.
Теорема 22. Агар a ≠ 0 бўлса, у ҳолда

11
β^−t ⋅ P
(t) =
a₀
⋅ l_a
(β^t ₎(1 + O(1)),
t → ∞ ,

бунда
l_a (x) ∈ S₀
. Агар [A] шарт бажарилса, t → ∞ бўлганда
^l (^βt ) ^{→ 1 m .}

a
Теорема 23. Агар a = 0
^ва [^ℜν ] ^{шарт бажарилса,}

(νt)^{1+1 ν} ⋅ P
(t) = ¹

11
a
^{N (t)}(^{1 + O(1)})^,
t → ∞,

бунда
N (t) ∈ S_∞
0
функция [ N ] шарт билан аниқланган.
23

Қуйидаги теорема Теорема 14 нинг аналогидир.

Теорема 24. Агар a ≠ 0
ва q^ɶ = a₀ | ln β |
бўлиб, [A]
шарт бажарилса, у

ҳолда қуйидаги муносабат ўринли бўлади:
M_i (t;qs)

^{1 −} q^ɶ ⋅ iqⁱ⁻¹
→(1 − s)l_µ (1 − s),
t → ∞,

бунда
l_µ (x) ∈ S₀
бўлиб,
l_µ (1) = 1 ва
l_µ (0) = m . Бундан ташқари

M(q) = q^ɶ
ва M^′(q) = ^qɶ m .
q

Олдинги параграфлардан маълумки, ушбу
^P~ij ^{(t) := Pi} {^{Z(t) = j t < H < ∞}}

эҳтимоллик ўлчови билан аниқланган
Z^~(t)
тасодифий жараён эргодик

Марков занжири ташкил этади. Қуйидаги теоремада ҲФ

i
^{V (t;s) =} _∑^P~ij ^{(t)s j}
j ∈N
яратган инвариант ўлчовнинг хоссалари келтирилган.

Теорема 25. Агар a = 0
^ва [^ℜν ] ^{шарт бажарилса, барча i ∈ N учун}

νt ⋅ V_i (t;s) → M(s),
t → ∞ ,

бунда
M(s) = _∑ m s ^j
ҲФ (6) тенгликда берилган бўлиб, у
Z^~(t)
эргодик

j ∈ ^jN

ν
занжир учун {m_j , j ∈ N}
инвариант ўлчов яратади. Бундан ташқари

n
∑ ^mj
j =1
= ¹ n
ν² ⋅ Γ(ν)
L_µ (n),

бунда Γ(∗) – Эйлернинг Гамма функцияси ва
L_µ (n)⋅ L(n) → 1 , n → ∞.

Диссертация ишининг охирги тўртинчи боби “Узлуксиз вақтли Марков Q-жараёнлари” деб номланган бўлиб, унда Q-жараённинг узлуксиз вақтли аналоги ўрганилган. Биринчи параграфда ихтиёрий t ∈ T учун ушбу
^Q_ij (t)^ := ^lim P_{i {}Z(t) = j t + τ < H < ∞_}^{
  }_τ→∞ ^_
эҳтимоллик ўлчови билан ҳолатлар фазоси E ⊂ N бўлган Марков Q-жараёни
деб номланувчи W (t) жараён аниқланган. Q-жараён ўтиш эҳтимолликлари
_jq j −i

^Pi {^{W (t) = j}} ^{= Q}_ij ^{(t) =}
iβ^t
P_ij (t),
i, j ∈ E , (7)

кўринишга эга бўлиши исботланган, бу формулада
β = exp{f ^′(q)} ва

P_ij (t) = P_i {Z(t) = j} – МТЖнинг ўтиш эҳтимолликлари. Ушбу

Q_1j (ε) = 1 + λ_j ε + O(ε),
локал ёйилма топилган, бунда
ε ↓ 0 ,

j

j
λ₁ = a₁ − ln β ва
λ = jq ^j−1a
≥ 0 ,
j ∈ E \ {1} . (8)

Ҳосил қилинган ёйилмадан W (t)
тўла аниқланиши келиб чиқади:
жараён қуйидаги инфинитезимал ҲФ билан

24

j
g(s) := _∑λ s ^j
j ∈E
= s _^f ^′(qs) − f ^′(q)^_ ,

бунда g(s ↑ 1) = _{∑j ∈E} λ _j
= 0 ва

0 < −λ₁ =
∑ ^λ j j ∈E \{1}
< ∞.

Маълумки, ўтиш эҳтимолликларининг дифференциалланувчанлик хоссаси узлуксиз Марков занжирлари назариясида муҳим роль ўйнайди.

Хусусан, компоненталари
^qij
:= Q_ij^′(ε ↓ 0)
бўлган ва адабиётларда q-матрица

деб номланувчи матрица Марков Q-жараёнининг инфинитезимал характеристикаларини аниқлайди. Агар ушбу
_{q = −lim} 1 − Q_ii (ε)

ⁱⁱ ε↓0 _ε
лимит чекли бўлса, Марков Q-жараёнининг i ∈ E ҳолати турғун дейилади.
Теорема 26. Марков Q-жараёнининг барча ҳолатлари турғундир. Q_ij (t)

 
функция t ∈ T ўзгарувчи бўйича узлуксиз дифференциалланувчи ва W (t)

жараённинг q-матрицаси
^q_ij ,i, j ∈ E^
қуйидаги компоненталарга эга:

^_iλ₁ + (i − 1)ln β,

i = j,

^qij
₌ _

^jλ j−i +1


, i ≠ j,

бунда λ_i
 j − i + 1
сонлар (8) тенгликларда берилган. Бундан ташқари ушбу
Q_i^′_j (t) = _∑q_ikQ_kj (t)
k ∈E

Колмогровнинг тескари тенгламалар системаси ўринли бўлади.

Ўтиш эҳтимолликлари
^Qij
(t)
га мос ушбу
G_i (t;s) = _∑


j ∈E
Q (t)s ^j
ҲФни

ij
қарайлик. Юқоридаги (7) формуладан келиб чиқадики,
G (t;s) = ^F^{^}(t;s)^i−1 G(t;s) ,

i
бунда F^{^}(t;s) = F(t;qs) q ва
_ _

G(t;s) = Es^W(t) =
.
u=qs