Математика институти

§1.5 да
υ_j := lim_{n →∞}
(n) 0 j
(n ) 00
сонлар барча j ∈ S учун мавжуд бўлиши

p

p
ва ИГВ жараёни учун инвариант ўлчов ташкил этиши кўрсатилган.
Нокритик ҳол учун қуйидаги теорема исботланган.
Теорема 6. Агар A ≠ 1 бўлса, у ҳолда барча i, j ∈ S учун
qⁱυ

k
_σ−n_p(n ) _→ j _,
n → ∞,

бунда σ := G(q) .
ij _∑


k ∈S
υ q^k

^{Критик ҳолда} [^ℜν ]
шарт 0 < ν < 1
қийматларда бажарилиши билан

бирга заррачалар иммиграцияси оқимини характерловчи
s ∈ [0,1) қийматларда ушбу
G(s)
ҲФ барча

1 −G(s) = (1 − s)^δ ℓ ^{ 1 }



[^G ]

^1 − s ^
кўринишга эга бўлган ҳол қаралган, бунда 0 < δ < 1 и
δ
ℓ(x) ∈ S_∞ .

^{Теорема 7. Агар} [^ℜν ] ^ва [^Gδ ] ^{шартлар бажарилиб, δ > ν бўлса, у ҳолда}
{^Xn } ^{занжир эргодик ва қуйидаги ёйилма ўринли бўлади:}

(0) _
^Fn (s ) 1 −G(y)
P (s) ∼ K(s)exp _∫
_
dy^,


n → ∞ ,

_n _
^ ^s
F(y) − y ^


бунда K(s) – чегараланган функция.
Диссертациянинг иккинчи боби “Дискрет вақтли узоқ келажакда
давом этувчи тармоқланувчи жараёнлар” деб номланиб, унда ушбу

^{Qij (n) := lim Pi} {^{Zn
= j n + k < H < ∞}}^{ = Pi} {^{Zn = j H = ∞}}^

^{  }_k →∞
_^  

эҳтимоллик ўлчови билан берилган W_n
тасодифий жараённинг таркибий ва

асимптотик хоссалари ўрганилган. Бу жараён бошланғич ҳолати W =^d Z ва
0 0
ҳолатлар фазоси E ⊂ N бўлган Марков занжири сифатида Q-жараён номи

билан маълум. Жараённинг n -вақтдаги ҳолатини W_n
барча i, j ∈ E лар учун ўтиш эҳтимолликлари
_jq j −i
миқдор ифодалайди ва

^Q_ij ^{(n) = Pi} {^{Wn
= j}} ⁼
iβⁿ
P_ij (n),

бунда β := F ^′(q) ва P_ij (n) = P_i {Z_n
= j}
– Г-В жараёни ўтиш эҳтимолликлари.

n

ij
§2.1 да ушбу Y ⁽ⁱ⁾(s) := _∑


j ∈E
Q (n)s ^j
ҲФнинг кўриниши топилган. §2.2да

{^Wn }
занжирнинг ҳолатлари классификацияси β таркибий параметрнинг

^{қийматига боғлиқ эканлиги кўрсатилган. Марков занжири} {^Wn }
мусбат

қайтувчи бўлади, агарда β < 1 бўлса, қайтмас бўлади, агарда β = 1 бўлса.
§2.3 да Q-жараёнда n -вақтгача барча авлодлар заррачаларининг умумий

йиғиндиси бўлган S
_{= ∑}n−1_W
миқдор қаралган. Ушбу
Y (s) := Y ⁽¹⁾(s) ва

n _{k =0} k 1
16

α := Y ^′(s ↑ 1) < ∞ белгилашларни киритамиз. Дастлаб
β < 1
шартда W_n и

S_n миқдорларнинг ўзаро “асимптотик боғлиқсиз” эканлиги кўрсатилган.
Қуйидаги иккита теоремада §2.3 нинг асосий натижалари келтирилган.


Теорема 8. Агар β = 1 ва α < ∞ бўлса, ушбу

_{ Wn}

_; ^Sn ^

^_EW_n ES_n ^_

θ
икки ўлчовли жараён (w; s) тасодифий миқдорга суст яқинлашади ва


_{E e}−λw−θs _{ = ch
+} λ sh
_−2
 _,
λ, θ ∈ R ,


  _{ } ⁺

бунда ch x
= (e^x
+ e^−x ) 2
ва sh x
= (e^x −e^−x ) 2 .

Юқоридаги теорема илгари маълум бўлган натижаларни шу маънода умумлаштирадики, эслатилган натижалар бир ўлчовли нормалланган ушбу

W_n EW_n
ва S_n
ES_n
миқдорлар учун алоҳида ҳолларда исботланган.

Теорема 9. Агар β < 1 ва α < ∞ бўлса, у ҳолда n → ∞ бўлганда

_P{S_n − ES_n
< x _}→ Φ(x),

бунда
Ψ = γ(2 + βγ)
2(1 − β),
γ = (α − 1) (1 − β)
ва Φ(x)
– стандарт

нормал қонун тақсимот функцияси.

^{Охирги §2.4 да} {^Wn }
жараён
α := Y ^′(s ↑ 1) = ∞ бўлган ҳолда

ўрганилган. Бунда β < 1 ҳол учун қуйидаги шарт қабул қилинган:
^E[^lnW1] ^{< ∞ . [L]}

Теорема 10. Агар
β < 1
ва [L]
шарт бажарилса, барча
s ∈ [0,1)

қийматлар учун π(s) := lim


n →∞
Y ⁽ⁱ⁾(s) лимит мавжуд ва унинг кўриниши

n
π(s) =
¹ sV^′(s),
m

бунда
V(s)
функция (2) тенглик билан аниқланган ва
m = V^′(s ↑ 1). ҲФ
π(s)

Q-жараён учун _{π_j , j ∈ E_} инвариант тақсимот яратади.

Q-жараён учун
β = 1
бўлганда, мос Г-В жараёни критик бўлади ва

^{α = ∞ бўлиши учун} [^ℜν ] ^{шартнинг бажарилиши етарли бўлади.
Лемма 4. Агар β = 1 ва} [^ℜν ] ^{шарт бажарилса, барча s ∈ [0,1) учун}
_{ }1+ν

Y (s) = s ^{Rn (s)
n } 1 − s ^
, n → ∞ ,

бунда q_n

= R_n (0).

^{ }
L ₍1 (1 − s)₎

Лемма 3 ва Лемма 4 ёрдамида қуйидаги теоремалар исботланган.
^{Теорема 11. Агар β = 1 ва} [^ℜν ] ^{шарт бажарилса, барча i ∈ E учун}
17

_(νn)1+1 ν
N (n)
^{Y (i)(s) = µ(s)}(^{1 + ρ
(s)})^,
n → ∞,

n n
бунда
ρ_n (s) → 0 ва
N (x)
функция [ N ]
шарт билан берилган.
µ(s)
функция

j
^∑j ∈E
µ s ^j
даражали қаторга ёйилади ва _{µ _{j }}
коэффициентлар учун ушбу

µ _j = _∑i∈E µ_iQ_ij (1) хосса ўринли бўлади. Бундан ташқари

n
∑^µ j j =1
∼ ¹ n
Γ(2 + ν)
1+ν
L_µ(n),
n → ∞,

бунда
L_µ (n)⋅ L(n) → 1
ва Γ(∗) – Эйлернинг Гамма функцияси.

Теорема 12. Агар β = 1 бўлса, у ҳолда барча i ∈ E учун ушбу

_P ^_ N (n) _W
< x^

i ^_(νn)1 ν n
^

тақсимот шундай G(x) тақсимот қонунига суст яқинлашадики, бунда

∫
e^−θxdG(x) = ¹ .

+
R

Қуйидаги теоремада С-функция
L(x)
га қўшимча шартлар қўйилганда

Теорема 11 тасдиғидаги
ρ_n (s) қолдиқ ҳаднинг тартиби баҳоланган.

Теорема 13. Агар
β = 1 ва [L_α ] шарт α(x) = O ₍L(x) x ₎ қолдиқ ҳад
ν

билан бажарилса, Теорема 11 даги асимптотик формуланинг қолдиқ ҳади барча s ∈ [0,1) учун қуйидаги текис баҳога эга бўлади:

ρ (s) = O ^{ ln n },



n → ∞.

ⁿ ^ _n ^
Ишнинг учинчи боби “Узлуксиз вақтли тармоқланувчи Марков
тасодифий жараёнларининг асимптотик тадқиқотлари” деб номланган ва у Марков тармоқланувчи жараёнларини (МТЖ) асимптотик тадқиқ этишга

бағишланган. МТЖда
t ∈ T
= [0, +∞)
вақтга келиб заррачалар сонини
Z(t)

орқали белгилаймиз. Маълумки, қаралаётган жараённинг ўтиш

эҳтимолликлари
^{Pij (t) = Pi} {^{Z(t) = j}}
Колмогоров-Чэпмен тенгламасини

қаноатлантиради. Бу эҳтимолликлар, тармоқланиш шартига кўра,
P_1j (t)

эҳтимолликларнинг i -тартибли ўрамаси(свертка)га тенг. Шунга кўра МТЖ

эволюциясини ўрганиш учун
P_1j (t)
ўтиш эҳтимоллигини аниқлаш етарли

бўлади. Бу эҳтимолликлар қуйидаги формула билан берилади:

P_1j (ε) = δ_1j + a_j ε + O(ε),
ε ↓ 0 , (3)

бунда
^δij
– Кронекер дельтаси, {a_j }
миқдорлар эса заррачалар эволюцияси

интенсивлигини ифодаловчи сонлар бўлиб, улар учун

0 < a₀ < −a₁ =
_∑ a_j < ∞
j ∈N₀ \{1}

18

муносабатлар ўринли. Юқоридаги (3) муносабатдан келиб чиқадики, j ≠ 1

учун a_j
= lim_ε↓0 P_1j (ε)
ε = P₁^′_j (0)
ҳамда ушбу

F(t;s) = _∑ P_1j
j ∈N₀

20. 
    s ^j
    

ва f (s) = _∑ a s ^j

j
j ∈N₀

ҲФлар учун s ∈ [0,1) қийматларда қуйидаги формула ўринли:
F(τ;s) = s + f (s)⋅ τ + O(τ), τ ↓ 0 .

Ҳар доим
a := f ^′(s ↑ 1) < ∞ бўлсин. Тармоқланувчи жараёнларнинг

классификациясига мувофиқ
Z(t)
жараён субкритик, критик ва суперкритик

дейилади, агарда мос равишда a < 0 , a = 0
ва a > 0
бўлса. Ушбу

сон орқали

Z(0) = 1
^{q = inf} {^{s ∈ (0,1] : f (s) = 0}}
ҳолатдан бошланган МТЖ емирилиш эҳтимоллигини

белгилаймиз ва
β := exp_{f ^′(q)_}
миқдорни киритамиз. Мулоҳазалар шуни

кўрсатадики, нокритик ҳолда Z(t) жараённинг асимптотик хоссалари ушбу

_ ^q _{ 1}
f ^′(q)^{ }_

A(s) = (q − s)exp_∫ ^ − ^ du_
(4)

s ^_u − q f (u) ^_{ }
функциянинг хоссаларига боғлиқ бўлади. МТЖнинг емирилиш моменти

^{H := inf} {^{t ∈ T
: Z(t) = 0}}
бўлсин. §3.2да ушбу

P {t < H < ∞} ∼ A(0)⋅ β^t,
асимптотик формуланинг бажарилиши учун
_∑a_j j ln j < ∞
j ∈N
t → ∞
[A]

шартнинг бажарилиши зарур ва етарли эканлиги исботланган.