|
3 Noparametrik muvofiqlik alomatlari
Teorema(Kolmogorov).
Ixtiyoriy uzluksiz
F
(
x
) taqsimot funksiyasi
va λ uchun
P
nD
K
e
i
n
n
i
i
lim
( )
( 1)
2
2
2
bo‗ladi.
D
n
– statistikaga asoslangan statistik alomat kritik to‗plami
quyidagicha aniqlanadi
1
1
2
:
( ,
,...,
)
n
n
S
t t
D x x
x
t
.
Bu yerdan 0<
α
<1 – alomatning qiymatdorlik darajasi.
Kolmogorov teoremasidan quyidagi xulosalar kelib chiqadi:
a)
D
n
– statistikaning
H
0
gipoteza to‗g‗ri bo‗lgandagi taqsimoti
F
(
x
)
bog‗liq emas;
b)
Amaliy nuqtayi nazardan n ≥ 20 bo‗lgandayoq teoremadagi
yaqinlashish juda yaxshi natija beradi, ya‘ni
P nD
n
ni K(
λ
) bilan
almashtirishdan yo‗l qo‗yiladigan xatolik yetarlicha kichikdir.
Bu xulosalardan kelib chiqadiki,
n
≥ 20 bo‗lsa kritik chegara
t
α
ni
n
ga teng deb olish mumkin. Bu yerda
λ
α
K
(λ
α
) = 1-
α
tenglamaning
ildizlaridan iborat. Haqiqatan ham berilgan 0< α <1 uchun
n
n
P D
S
H
P nD
H
K
1
0
0
1
(
)
.
Shunday qilib, Kolmogorov alomati quyidagicha aniqlanadi:
1)
berilgan α orqali K(
λ
α
) = 1-
α
tenglama yechimi
λ
α
jadval yordamida
topiladi.
2)
berilgan tajriba natijalari
x
1
, x
2
, …, x
n
larga ko‗ra
t
=
D
n
(
x
1
, x
2
, …, x
n
)
qiymati hisoblanadi,
3)
nt
va λ
α
solishtiriladi, agar
nt
bo‗lsa asosiy gipoteza
H
0
rad
eriladi, aks holda tajriba
H
0
ni tasdiqlaydi.
2.
K. Pirsonning xi–kvadrat muvofiqlik alomati
Amaliyotda Kolmogorov statistikasini hisoblash ancha murakkab va
undan tashqari Kolmogorov alomatini qo‗llash faqat taqsimot funksiya
F
(
x
) uzluksiz bo‗lgandagina mimkindir. Shuning uchun, amaliyotda ko‗p
hollarda Pirsonning xi – kvadrat alomati qo‗llaniladi. Bu alomat universal
xarakterga ega bo‗lib, kuzatilmalarni guruhlash usuliga asoslangandir.
Faraz qilaylik,
X
– kuzatilayotgan va taqsimot funksiyasi noma‘lum
F
(
x
) bo‗lgan
X
t.m.ning qiymatlari to‗plami bo‗lsin.
X
ni
k
ta
kesishmaydigan oraliqlarga ajratamiz:
X
i
i
k
,
1
i
j
0
,
i
j
,
,
1,2,...,
i j
k
Takrorlanishlar vektori deb ataladigan
k
1
( ,...,
)
vektorni olaylik.
Bu vektorning
i
– koordinatasi kuzatilmalardan
i
tasi
i
oraliqqa
tushganligini anglatadi. Ko‗rinib turibdiki, takrorlanishlar vektori
tanlanma (
X
X
n
,
,
1
) orqali bir qiymatli aniqlanadi va
1
2
...
k
n
.
Asosiy gipoteza
H
0
to‗g‗ri, bo‗lgandagi kuzatilmaning
i
oraliqqa tushish,
ehtimolligini
P
i
0
bilan belgilaylik:
i
i
P
P X
H
0
0
,
i
k
1,2,..., .
Quyidagi statistikani kiritamiz
nP
nP
i
i
n
k
i
k
0
1
2
0
2
va
H
0
:
F x
F x
( )
( )
0
asosiy gipotezani to‗g‗riligini tekshiramiz.
Kuchaytirilgan katta sonlar qonuniga asosan nisbiy chastota
r
n
bir
ehtimollik bilan nazariy ehtimollik
P
r
0
ga intiladi. Demak, agar
H
0
gipoteza o‗rinli bo‗lsa, u holda
n
2
statistikaning qiymati yetarli darajada
kichik bo‗lishi kerak.Demak, Pirsonning
2
mezoni
n
2
statistikaning katta
qiymatlarida asosiy gipoteza
H
0
ni rad etadi, ya‘ni alomatning kritik sohasi
1
:
S
t t
t
ko‗rinishda bo‗ladi. Asosiy gipoteza
H
0
to‗g‗ri bo‗lganida
n
2
statistikaning aniq taqsimotini hisoblash ancha murakkab, bu esa o‗z
navbatida alomatning kritik chegarasi
t
ni topishda qiyinchilik tug‗diradi.
Ammo, n yetarli katta bo‗lsa
H
0
gipoteza to‗g‗ri bo‗lganida
n
2
statistikaning taqsimotini limit taqsimot bilan almashtirish mumkin.
Teorema(Pirson).
Agar 0<
P
i
0
<1,
i
k
1,2,..., .
bo‗lsa, u holda
P
t H
P
t
n
n
k
lim
0
1
2
2
.
Bu yerda
k
1
2
erkinlik darajasi k-1 bo‗lgan xi – kvadrat taqsimotiga ega
bo‗lgan t.m.dir:
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
0
P
t
k
x
e dx
k
k
k
x
t
,
Amaliyotda bu teorema natijasidan n≥50,
i
45
,
i
k
1,2,..., .
bo‗lganda
foydalanish mumkin. Bu holda
t
1
2
k
P
t
,
0
1
tenglamadan topiladi.
Ikki bosh to‗plamlar matematik kutilmalari va dispersiyalarining
tengligini tekshirish masalalariini ko‗raylik. Ikkala bosh to‗plam normal
taqsimlangan deb faraz qilamiz. Demak, birinchi bosh to‗plamdan
X
(n)
=(
X
1
,
…, X
n
) , ikkinchi bosh to‗plamdan esa
Y
(m)
=(
Y
1
, …, Y
m
) tanlanmalari
olingan bo‗lsin.
1.
Matematik kutilmalar noma’lum bo‘lganida dispersiyalar
tengligi haqidagi gipotezani tekshirish
X
1
, X
2
, …, X
n
lar o‗rta qiymati noma‘lum va dispersiyasi
x
2
bo‗lgan
normal taqsimlangan
X
t.m. kuzatilmalari va
Y
1
, Y
2
, …, Y
m
lar esa o‗rta
qiymati noma‘lum va dispersiyasi
y
2
bo‗lgan normal taqsimlangan
t.m.ning kuzatilmalari bo‗lsin. Asosiy gipoteza
H
0
:
x
2
=
y
tasdiqdan,
alternativ gipoteza
H
1
:
x
2
≠
y
2
tasdiqdan iborat bo‗lsin. Dispersiyalarining
eng yaxshi statistik baholarini ko‗raylik:
x
n
X
i
i
x
n
1
1
1
2
2
va
m
Y
y
i
i
y
m
1
1
1
2
2
F
– statistika deb ataluvchi quyidagi statistikani kiritamiz
m
Y
y
F
n
X
x
i
i
y
m
i
x
i
n
1
1
1
1
1
2
2
1
2
2
Teorema(Snedekor).
Agarda
X
o‗rta qiymati
θ
1
va dispersiyasi
x
2
bo‗lgan normal qonun bo‗yicha taqsimlangan t.m. va
Y
o‗rta qiymati
θ
2
va
4 Matematik kutilma va dispersiyalar haqidagi statistik
gipotezalarni tekshirish
n
- Gamma funksiya.
dispersiyasi
y
2
bo‗lgan normal qonun bo‗yicha taqsimlangan t.m.lar
bo‗lsa, u holda
x
y
y
x
2
2
2
2
Snedekor taqsimotining zichlik funksiyasi
n m
n
n
n m
f
x
n
m
n
m
n
m
x
nx m
x
,
2
2
1
2
2
2
2
1
,
0
formula bilan aniqlanadi.
Alomatning kritik sohasi quyidagicha tiziladi. Agarda
C
y
x
2
1
2
yoki
C
y
x
2
2
2
(
C
1
<1<
C
2
)
bo‗lsa, asosiy gipoteza
H
0
ni rad etmoq lozim.
Yuqorida keltirilgan Snedekor teoremasidan foydalanib C
1
va C
2
–
sonlarni aniqlaylik. Jadvaldan erkinlik darajasiga asosan Snedekor
taqsimotining 1-α kvantili topiladi. Masalan, α = 0.15 va
n
=
m
= 9 bo‗lsa
C
1
= 3.44,
C
C
1
2
1
0.29
.
2. Matematik kutilmalar ma’lum bo‘lganida dispersiyalar
tengligi haqidagi gipotezani tekshirish
Bu gipoteza oldingi gipotezaga o‗xshash tekshiriladi. Ammo
x
2
va
y
2
dispersiyalar mos ravishda quyidagicha hisoblanadi:
n
X
i
i
x
x
n
1
1
1
2
2
,
m
Y
i
i
y
y
m
1
1
1
2
2
,
Bu yerda
x
va
y
lar
X
va
Y
t.m.lar o‗rta qiymatlaridir.
t.m. erkinlik darajalari
n
-1 va
m
-1 bo‗lgan Snedekor taqsimotiga ega
bo‗ladi.
3. Dispersiyalar noma’lum bo‘lganida matematik kutilmalar
tengligi haqidagi gipotezani tekshirish
Faraz qilaylik,
X
va
Y
t.m.lar mos ravishda o‗rta qiymatlari
x
va
y
,
dispersiyalari
x
y
2
2
2
bo‗lgan normal qonun bo‗yicha taqsimlangan
bo‗lib,
2
,
x
va
y
lar noma‘lum bo‗lsin. (
X
1
, …, X
n
)
X
t.m.ning
tanlanmasi va (
Y
1
, …, Y
m
) –
Y
t.m.ning tanlanmasi bo‗lsin. Asosiy gipoteza
H
0
:
x
=
y
va alternativ gipoteza
H
1
:
x
≠
y
lardan biri o‗rinli ekanini
tekshirish kerak. Tanlanmalar o‗rta qiymatlari ayirmasi
x
y
ni qaraylik.
Shartga ko‗ra
n m
D x
y
n
m
2
.
Quyidagi statistikani kiritamiz:
n
m
n m
n m
t
x
y
n m
x
y
1
1
2
2
2
Bu statistika erkinlik darajasi
n
+
m
– 2 bo‗lgan Styudent taqsimotiga ega
bo‗ladi. U holda asosiy gipoteza
H
0
o‗rinli bo‗lishini tekshiruvchi statistik
alomat quyidagicha tuziladi: agarda
t
t n
m
2
bo‗lsa gipoteza
H
0
gipoteza rad etiladi. Bu yerda
t
n
m
2
qiymatdorlik darajasi
α
–
bo‗lgan Styudent taqsimotining kritik nuqtasidir.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
