Xarakteristik funksiya orqali taqsimot funksiyani ifodalash formulasi

2.2 Xarakteristik funksiya orqali taqsimot funksiyani ifodalash formulasi
Har bir tasodifiy miqdor uchun unga mos xarakteristik funksiya mavjudligini avvalgi paragrafda ko’rdik. Turli taqsimot funksiyalarga turli xarakteristik funksiyalar mos keladi hamda taqsimot funksiya xarakteristik funksiya orqali bir qiymatli aniqlanadi.
Teorema. Agar funksiyalar mos ravishda tasodifiy miqdorning xarakteristik va taqsimot funksiyalari bo’lsa hamda va
funksiyaning uzluksiz nuqtalari bo’lsa, u holda
Bu teoremadan quyidagi atijani isbotlash mumkin: agar absolyut integrallanuvchi bo’lsa, u holda mavjud, uzluksiz, chegaralangan


va
Isbot. Quyidagi integralni hisoblaymiz:


Agar integral ostidagi funksiyalarning oraliqda chegaralanganini e’tiborga olsak,
Matematik analiz kursidan ma’lumki,

Ushbu
ifoda c bo’yicha tekis chegaralangandir. Demak,
Bevosita ishonch hosil qilish mumkinki, va lar uchun Natijada

Shu bilan birga dan va funksiyaning juftligidan
Agar va nuqtalarni funksiyaning uzluksiz nuqtalari ekanligini e’tiborga olsak, oxirgi tenglikdan

ifoda hosil bo’ladi. Agar integralni
ko’rinishda ifodalash mumkinligini e’tiborga olsak, , lardan va oxirgi tenglikdan teorema isboti kelib chiqadi.
Natija. Yagonalilik teoremasi. Taqsimot funksiya o’z xarakteristik funksiyasi orqali bir qiymatli aniqlanadi.
Agar ayirma da funksiyani bir qiymatli aniqlashini e’tiborga olsak, u holda yuqoridagi teoremadan natijaning isboti kelib chiqadi.
Xarakteristik funksiyalardan foydalanib, normal qonuning quyidagi muhim xossasini keltiramiz. Normal qonun bo’yicha taqsimlangan bog’liq
bolmagan va tasodifiy miqdorlarning yig’indisi yana normal taqsimotga ega bo’ladi.
Xaqiqatdan ham, bog’liq bo’lmagan va tasodifiy miqdorlar mos ravishda va parametrlar bo’yicha taqsimlangan bo’lsa, u holda yig’indining xarakteristik funksiyasi:
Demak, yig’indi parametrli normal taqsimotga ega.
Aksincha, va xarakteristik funksiyalar uchun bo’lsa, u holda

bo’lishligini G. Karmer isbotlagan, ya’ni o’zaro bog’liq
bo’lmagan va tasodifiy miqdorlar yig’indisi normal qonun bo’yicha taqsimlangan bo’lsa, u holda qo’shiluvchilarning har biri ham normal qonun bo’yicha taqsimlangan bo’ladi.
parametrli Puasson qonuni bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor berilgan bo’lsin. Uning xarakteristik funksiyasi quyidagiga teng:
Endi o’zaro bog’liq bo’lmagan va tasodifiy miqdorlar mos ravishda va parametrli Puasson qonuni bo’yicha taqsimlangan bo’lsin. Ular yig’indisining xarakteristik funksiyasi quyidagiga teng:

Demak, tasodifiy miqdor parametrli Puasson qonuni bo’yicha taqsimlangan bo’ladi.