Aniq integralni hisoblash talab qilingan bo‘lsin. Agar

Aniq integralni hisoblash talab qilingan bo‘lsin. Agar f(x) funktsiya kesmada uzluksiz bo‘lsa, bu masalani umumiy holda Nyuton-Leybnits formulasi
(2.1)
yordamida hal qilinadi. (F(x)=f(x)). Ammo ma’lumki, ko‘pchilik funktsiyalarning boshlang’ich funktsiyalari (aniqmas integrallari) elementar funktsiyalar bo‘lmasligi mumkin. Undan tashqari, boshlang’ich funktsiya elementar bo‘lgan ba’zi hollarda (2.1) formulaning o‘ng tomoni hisoblash uchun amaliy jihatdan yaroqsiz (noqulay) bo‘lishi mumkin.
Bunday hollarda integralni taqribiy hisoblash formulalaridan foydalanish maqsadga muvofiqdir. Bu formulalar, asosan, integralning geometrik ma’nosiga suyangan holda chiqariladi. Ma’lumki, integral y=f(x) egri chiziq, x=a va x=b to‘g’ri chiziqlar hamda abtsissalar o‘qi bilan chegaralangan xOy koordinatalar tekisligidagi egri chiziqli trapetsiyaning yuziga teng (f (x)>0 deb faraz qilamiz).

2.1-rasm
Endi S= integralni taqribiy hisoblash maqsadida. kesmani n ta bo‘laklarga bo‘lamiz va bo‘linish nuqtalarini (tugunlarini) o‘sish tartibida
a=x₀ <x₁<…<x_i-1<x_i<…<x_n=b
ko‘rinishida belgilaymiz. U holda,
(2.2)
ekanligini payqash qiyin emas.
Oxirgi tenglikdagi (i=1,2,…,n) integrallarni taqribiy hisoblashning bir qator usullari mavjud bo‘lib, ulardan ba’zi birlarini quyida keltiramiz.

To‘g’ri to‘rtburchaklar formulasi

Agar kesmani n ta bo‘laklarga bo‘lish natijasida hosil qilingan oraliqqa mos keluvchi integralni olsak, u egri chiziqli trapetsiyaning oraliqqa mos keluvchi i-bo‘lakchasining yuzidan iborat ekanligi va uning taqribiy qiymati sifatida

qiymatni qabul qilish mumkinligi ma’lum. Bu yerda h_i=x_i-x_i-1 , kesmadan olingan ixtiyoriy nuqta. Qilingan bunday mulohaza asosida (2.2) dan
(2.3)
integralni taqribiy hisoblash formulasiga ega bo‘lamiz. Bu integralni taqribiy hisoblashda to‘g’ri to‘rtburchaklar usulidan foydalanamiz.



2.2-rasm

Agar deb olinsa bo‘lib, (2.3) dan

(2.3)
chap to‘g’ri to‘rtburchaklar, agar deb olinsa bo‘lib, (2.3) dan
(2.3)
o‘ng to‘g’ri to‘rtburchaklar formulalariga ega bo‘lamiz, bu yerda y_i=f(x_i), ( i =0,1,2,…,n).
Agar kesmani n ta teng bo‘laklarga bo‘lsak qadamlar bir xil bo‘lib, (2.3) va (2.3) lardan


ko‘rinishdagi to‘g’ri to‘rtburchaklar formulalariga ega bo‘lamiz, h integrallash qadami deb yuritiladi.

Trapetsiyalar formulasi

Bu formulani olish uchun kesmani h=(b-a)/n qadam bilan n ta bo‘laklarga bo‘lish natijasida hosil qilingan egri chiziqli trapetsiya har bir bo‘lakchasining yuzini, 7.3-rasmdagidek, trapetsiyalar yuzi bilan taqribiy almashtiriladi.

2.3-rasm

Olingan taqribiy qiymatlarni jamlash natijasida

(2.4)

taqribiy formulani olamiz. Bu trapetsiyalar formulasidir.

Simpson formulasi

Parabolalar (Simpson) formulasi bilan aniq integralni hisoblashni o‘rganamiz.
[a,b] kesmani h=(b-a)/2n qadam bilan 2n ta juft bo‘laklarga ajratamiz. Bo‘linish nuqtalari
x₁, x₂, x₃,…, x_2n-1

Bo‘lganda bu nuqtalarda integral ostidagi funktsiyaning mos qiymatlarini topamiz::

Integral ostidagi f(x) funktsiyani parabola funkiyasi bilan almashtirishda Nyutonning interpolyatsiya formulasi asosida nuqtalarga qurilgan parabolaning quyidagi interpolyatsiya ko‘phadidan foydalanamiz:


bu yerda , ekanligdan interpolyatsiya ko‘phadi quyidagicha yozamimz:

Bu holda kesmada f(x) interpolyatsiya ko‘phadini integrallaymiz:
(*)
bu yerda lar x ga bog’liq emas. Integralni undagi qo‘shiluvchilar integrallarini alohida integrallash bilan topamiz:
1)