Kvadratik formani kanonik ko‘rinishga keltirish. Haqiqiy va Ermit kvadratik formalar. Kvadratik formalar uchun inersiya qonuni. Musbat aniqlangan kvadratik formalar. Inersiya qonuni

Ta’rif 44.3. Agar bichiziqli forma uchun

bo’lsa, u holda unga ermit forma deb ataladi.
Bu ta’rif ko’rinib turibdiki, simmetrik bichiziqli formaga o’xshash ta’rifdir.
Teorema 44.4. forma ermit bo’ladi, agar uning biror-bir bazisidagi matrisasi uchun

tenglikning o’rinli bo’lishligi zarur va yetarli bo’lsa.
Isbot. Haqiqatan ham, agar forma ermit bo’lsa, u holda

bo’ladi. Aksincha, agar bo’lsa, u holda

bo’ladi.
Shuni ta’kidlaymizki, agar forma biror-bir bazisda ermit bo’lsa, u holda bu forma fazoning istalgan bazisida ham ermit bo’ladi.
Agar bichiziqli forma ermit bo’lsa, u holda kvadratik forma ham ermit forma deb ataladi.
Teorema 44.5. bichiziqli forma ermit bo’ladi, agarda unga oid kvadratik formani ixtiyoriy vektor uchun haqiqiy bo’lishligi zarur va yetarlidir.
Isbot. Faraz qilaylik, ermit bo’lsin, ya’ni teng o’rinli bo’lsin. U holda olib,

tenglikni hosil qilamiz, ya’ni har qanday kompleks son o’zining qo’shmasiga teng va demak u haqiqiy sondir.
Aksincha, agar haqiqiy bo’lsa, u holda
, , va
formalar haqiqiydirlar va demak (1) formulaga asosan bo’ladi.
Natija 44.6. Kvadratik forma ermit forma bo’ladi va shundagina, agar u faqat haqiqiy qiymatlarni qabul qilsa.
Bu natijadan foydalanib, endi biz musbat aniqlangan ermit kvadratik forma ta’rifini bera olamiz, ya’ni ixtiyoriy noldan farqli vektor uchun

bo’lsa, u holda ermit kvadratik formaga musbat aniqlangan ermit kvadrat forma deb ataymiz.
Chekli o’lchovli kompleks fazoda ermit kvadratik formalar uchun shunday kanonik bazis mavjudki, bu bazisda ermit kvadratik forma

kanonik shaklga keltirilib, bu yerda haqiqiy sonlar.
Bu kanonik bazisni quyidagi usulda tuzib boramiz. vektorni shunday tanlaymizki, bo’lsin. Bunday vektor mavjuddir, aks holda biz ixtiyoriy vektor uchun kelib, (1) formulaga asosan hosil qilar edik va demak noldan farqli bichiziqli forma uchun qanoatlantiruvchi vektor kompleks fazoda mavjuddir. Endi vektorga ortogonal bo’lgan hamma vektorlar qism fazosini qaraymiz, ya’ni
.
qism fazo bo’lishligi va uning bo’ladi. Endi vektorni shunday tanlaymizki, bo’lsin va hokazo. Ma’lum bir qadamdan so’ng biz shunday qism fazoni tuzamizki, bu qism fazoda bo’lib, uning o’lchovi bo’ladi. Agarda noldan farqli qism fazo bo’lsa, u holda unda ixtiyoriy bazisni tuzib olib, tuzilgan vektorlar bilan birga qarasak,

vektor kompleks fazoning bazisi bo’lib, bu bazisda

va bichiziqli formani ermitligidan

bo’ladi va demak
.
Shunga asosan, agar

ixtiyoriy vektor bo’lsa, u holda

hosil bo’lib, ermit kvadratik formaning ixtiyoriy qiymati haqiqiy bo’lib,

tenglikni hosil qilamiz.
Xuddi shunday ermit bichiziqli va kvadratik formalar uchun Yakobi usuli o’rinli bo’lib, shunday kanonik bazis tuziladiki, bu kanonik bazisda ermit formaning kanonik shakli

formula orqali topiladi va xususan ermit kvadratik forma uchun

formulaviy tenglik o’rinli bo’lib, bu yerda , ermit bichiziqli va kvadratik formalarning berilgan bazisdagi matrisasining bosh (burchak) minorlaridir. Xususan bu formulalardan haqiqiy sonlar bo’lishligi kelib chiqadi.
Xuddi shunday ermit kvadratik forma musbat aniqlangan bo’lishligi uchun uning bosh minorlari bo’lishligi zarur va yetarlidir, ya’ni Silvestr kriteriysi ermit kvadratik formalar uchun ham o’rinlidir.
Xuddi shunday, agar ermit kvadratik forma ikkita kanonik bazislar yordamida kanonik shakllarga keltirilgan bo’lsa, u holda bu kanonik shakllarda musbat va manfiy indekslari o’zgarmaydi, ya’ni inersiya qonuni ham ermit kvadratik formalar uchun o’rinlidir.