|
Ta’rif 43.1. Agar vektor uchun tengsizlik o’rinli bo’lsa, haqiqiy kvadratik forma musbat (manfiy) deb aytiladi.
Masalan, fazoda
kvadratik forma musbat,
kvadratik forma esa manfiydir.
Agar bazis kvadratik forma uchun kanonik bo’lsa, u holda
bo’lib, u holda uning musbatligi
, , ...,
sonlarning har birini musbatligiga teng kuchlidir. Aksincha, agar vektorning kamida bitta koordinatalari noldan farqli bo’lsa, u holda
tengsizligidan kelib chiqadi.
Kvadratik formalarning musbatligi Silvestr kriteriysi deb nomlangan teorema orqali beriladi.
Teorema 43.2. Kvadratik formani musbat bo’lmaganligi uchun, uning matrisasidagi hamma bosh (burchak) minorlari musbat bo’lishi zarur va yetarlidir.
Isbot. Faraz qilaylik, kvadratik forma musbat bo’lib,
tartibli minor, uning matrisasining bosh minori bo’lsin, bu yerda . Eng avvalambor minorni noldan farqli bo’lishligini, ya’ni uning satrlari chiziqli erkli ekanligini ko’rsatamiz. Haqiqatan ham, buning uchun , sonlar uchun
yoki
tenglikni qaraymiz. Bundan
bo’lib, ulardan
hosil bo’lib, ularning bo’yicha ta yig’indisi
va bundan
tenglik olamiz va kvadratik formaning musbatligidan
tenglikni hosil qilamiz. Bu oxirgi tenglikda vektorlarni chiziqli erkligidan kelib chiqadi va demak minorni satrlari chiziqli erkli bo’lib, u noldan farqlidir. Endi kvadratik formaga Yakobi usulini qo’llab, shunday kanonik bazis topish mumkinki, bu bazisda
bo’lib, kvadratik formaning musbatligidan
bo’lishligi kelib chiqadi.
Aksincha, agar bo’lsa, u holda Yakobi usulidan foydalanib, kanonik bazisni topamizki, bu bazisda
bo’ladi va demak forma musbat aniqlanganligini hosil qilamiz.
Tabiiyki Silvester teoremasi manfiy kvadratik formalar uchun ham o’rinli bo’lib, bu holda bosh minorlar ketma-ketligi musbat manfiy (yoki manfiy musbat) bo’lishligi zarur va yetarlidir.
Misol 2. fazoda parametrga bog’liq bo’lgan
kvadratik forma berilgan bo’lib, uning
matrisasini bosh minorlarini hisoblaymiz:
oxirgi tengsizlikni qanoatlantiruvchi parametrlar oraliqda o’zgarganda berilgan kvadratik forma musbat aniqlangan bo’ladi.
Kvadratik formaning kanonik
shaklida orasida musbatlari manfiylari bo’lishi mumkin. Musbat kvadratlari soni bu kvadratik formaning musbat indeksi deyiladi va u shaklda belgilanadi va xuddi shunday manfiy kvadratlar soniga manfiy indeksi deb, uni shaklda belgilanadi. Kanonik bazisda vektorlarni qaytadan nomerlab chiqish orqali biz hamma vaqt kvadrat formaning kanonik shaklida musbat kvadratlarini birinchi, so’ngra manfiy kvadratlarini yozib chiqishimiz mumkin. Bundan tashqari orasida nollar ham bo’lishi mumkin, ya’ni agarda kvadratik formaning rangi ga teng bo’lsa, u holda uning kanonik shaklidagi kvadratlar soni koeffisiyentlar soni noldan farqli kvadratlar yig’indisidan iborat bo’ladi va
tenglik o’rinli bo’ladi.
Bizni kvadratik forma boshqa bir kanonik bazis yordamida kanonik shaklga keltirilishida uning musbat va manfiy indekslari o’zgaradimi degan savol qiziqtirib, bu savolga inersiya qonuni deb nomlangan teorema javob beradi.
Teorema 43.3. Kvadratik formaning kanonik shaklidagi indekslari uning kanonik bazisining tanlab olinishiga bog’liq emas.
Isbot. Faraz qilaylik, kvadratik forma ikkita va kanonik bazislar yordamida kanonik shaklga keltirilgan bo’lib, bu bazislarda bo’lsin. U holda orqali vektorlarning chiziqli qobig’ini va orqali vektorlarning chiziqli qobig’ini belgilaymiz, ya’ni
bo’lsin. Bu vektorlar sistemalari chiziqli erkli bo’lganligi tufayli
.
Bundan
bo’lib, noldan farqli vektorlarga egaligi kelib chiqadi. Faraz qilaylik bu vektor bo’lsin va demak bo’lib, u va bazis vektorlarini chiziqli kombinasiyasidan iborat, ya’ni
bo’ladi va bu tenglikdan shartga asosan
va
hosil bo’lib, vektor uchun kvadratik forma bir tomondan musbat, ikkinchi tomondan manfiy bo’lishligi kelib chiqyapti. Bu esa faqat nol vektordan iborat bo’lgan yoki boshqacha qilib aytganda vektordan iborat bo’lgandagi o’rinlidir va demak bo’ladi. Xuddi shu mulohazalarni uchun ham olib borsak ekanligini hosil qilamiz.
Xuddi shunday mulohazalarni kvadratik formaning manfiy indekslari uchun ham olib boriladi, bu holda formani olib qarash kifoyadir.
Misol 3. Ushbu kvadratik
formaning matrisasi
bazisda
bo’lib, uning berilgan bazisdagi o’tish
matrisasi olib,
hisoblasak (ko’rsating!)
diagonal matrisani hosil qilamiz va demak kvadratik formaning kanonik
shakldan iborat bo’lib, boshqa bir ikkinchi kanonik
bazisdagi o’tish
matrisasidagi kvadratik formaning
matrisasi (hisoblang)
diagonal shakldan iborat bo’lib, uning kanonik
shaklini hosil qilamiz.
Ko’rinib turibdiki, kvadratik formani ikki kanonik bazislar orqali keltirilgan kanonik shakllaridagi musbat va manfiy indekslari
bo’ladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
