Kvadratik formani kanonik ko‘rinishga keltirish. Haqiqiy va Ermit kvadratik formalar. Kvadratik formalar uchun inersiya qonuni. Musbat aniqlangan kvadratik formalar. Inersiya qonuni

Kvadratik formani kanonik ko‘rinishga keltirish. Haqiqiy va Ermit kvadratik formalar. Kvadratik formalar uchun inersiya qonuni. Musbat aniqlangan kvadratik formalar
MUSBAT ANIQLANGAN KVADRATIK FORMALAR. INERSIYa QONUNI.
Teacher: Nosirova X
Ushbu mavzuda biz simmetrik bichiziqli formaga oid maydonda berilgan

kvadratik formani kanonik bazisini qurish bilan kanonik shaklga, ya’ni koeffisiyentlarni kvadratlarini yig’indisi shaklga olib kelishini Yakobi usulidan farqli bo’lgan yana bir Lagranj nomi bilan ataluvchi Lagranj usulini keltiramiz va ularni haqiqiy sonlar maydoni bo’lganda o’rganib chiqamiz. Qulaylik uchun kvadratik formani o’zgaruvchili ko’phadlar funksiyasi deb qaraymiz.
Kvadratik formani kanonik shaklga, ya’ni o’zgaruvchilarni kvadratlarini yig’indisi shakli olib kelishni matematik induksiya usuli yordamida bajaramiz.
Faraz qilaylik, kvadratik forma nolmas bo’lsin. Aks holda, agar kvadratik forma aynan nol bo’lsa, uning matrisasi nol matrisa bo’lib, uni istalgan bazisda kanonik shaklga kelgan deb hisoblaymiz. Agar kvadratik formada o’zgaruvchilarining kvadratlari oldidagi birorta koeffisiyenti noldan farqli bo’lsa, ya’ni masalan, bo’lsin. U holda o’zgaruvchilar soni da kvadratik forma

kanonik shaklga ega bo’ladi. Endi kvadratik formani o’zgaruvchilar uchun to’g’ri deb, ya’ni kanonik shaklga keltirilgan bo’lib, o’zgaruvchilar uchun kanonik shaklga kelishini ko’rsatamiz. U holda kvadratik formadagi hamma ishtirok etgan hadlarni to’plab, uni

shaklda keltirib olamiz. Ikkinchi yig’indida hosil bo’lgan o’zgaruvchili haqiqatan kvadratik forma bo’lib, matematik induksiya faraziga asosan kvadratik forma o’zgaruvchilarning kvadratlarining yig’indisi shakliga keladi va demak kvadratik forma kanonik shaklga ega bo’ladi.
Agar kvadratik formada barcha o’zgaruvchilarining kvadratlari qatnashmasa, ya’ni bo’lsa, u holda masalan deb qaraz qilib, o’zgaruvchilarga quyidagi chiziqli almashtirishlarni

bajarib, kvadratik formaga olib borib qo’ysak, biz yangi o’zgaruvchilardan iborat kvadratik formani hosil qilamizki, u kvadratik formada noldan farqli had qatnashadi. Bu kvadratik formaga ham yuqoridagi matematik induksiya mulohazasini tadbiq qilib berilgan kvadratik formani o’zgaruvchilarni kvadratlarini yig’indisi, ya’ni kanonik shaklga ifodalash mumkin bo’ladi.
Misol 1. fazoning qandaydir bazisida berilgan

kvadratik formaning matrisasi

bo’lib, unda hamma o’zgaruvchilari qatnashgan hadlarini kvadrat ostiga kiritsak :

bo’lib, bu yerda

deb olsak, u holda kvadratik forma yangi o’zgaruvchilarni kvadratlarining yig’indisida

iborat bo’lib, o’zgaruvchilar vektorning yangi koordinatalari

matrisaviy tenglik orqali ifodalanib, unda o’tish matrisasi

ko’rinishda bo’lib, matrisaviy tenglikdan

bo’ladi. Bu yerda

bo’lib, kanonik bazis bazis bilan quyidagicha bog’langan:

va bu bazisdagi matrisasi

bo’ladi (hisoblab ko’rsating!).
Endi biz haqiqiy sonlar maydonida olingan kvadratik formalar bilan shug’ullanamiz. Tabiiiyki yuqorida keltirilgan bichiziqli va kvadartik formalar uchun aytilgan barcha tushunchalar va teoremalar haqiqiy formalar uchun ham o’rinli, chunki iboratdir.