Kvadratik formani kanonik ko‘rinishga keltirish. Haqiqiy va Ermit kvadratik formalar. Kvadratik formalar uchun inersiya qonuni. Musbat aniqlangan kvadratik formalar. Inersiya qonuni

ERMIT FORMALARI

Yuqoridagi mavzularimizda keltirilgan chiziqli funksiyalar, bichiziqli forma va kvadratik formalarning ta’rifi va tushunchalari, kompleks sonlar maydoni ustidan berilgan chiziqli fazolar uchun ham o’rinli bo’lib, faqat musbat aniqlangan kvadrat formalar bundan mustasnodir. Shunga qaramasdan bu ta’rif va tushunchalarni kompleks chiziqli fazolarda yana boshqacha usulda kiritish ham mumkin. Biz bu mavzuda xuddi muhim shu usulni kiritib, bichiziqli formalarni o’rganamiz.

Ta’rif 44.1. Agar


funksiya uchun
1. ;
2.
shartlar o’rinli bo’lsa, akslantirishga 1-tur chiziqli funksiya va agarda
1⁰. ;
2⁰.
shartlar o’rinli bo’lsa, akslantirish 2-tur chiziqli funksiya deb ataladi.
Ta’rifdan ko’rinib turibdiki, 1-tur chiziqli funksiya biz kiritgan maydonlar ustida chiziqli fazolar uchun berilgan chiziqli funksiyaning aynan o’zidir.
Tabiiyki, bu satrlarni uchun ularga teng kuchli bitta

shart bilan akslantirishimiz mumkin bo’ladi.
Ta’rif 44.2. Agar


ikki argumentli kompleks funksiya birinchi argumenti bo’yicha 1-tur va ikkinchi argumenti bo’yicha 2-tur chiziqli funksiya bo’lsa, u holda funksiyaga 2-tur bichiziqli forma deb ataladi.
Masalan, ushbu


aniqlangan funksiya 2-tur bichiziqli forma bo’lib, bu yerda , va ko’rinishlarda bo’ladi.
Agar funksiya 2-tur kompleks bichiziqli funksiya bo’lsa, u holda

funksiya 2-tur kvadratik forma deb ataladi va bu 2-tur bichiziqli formaning 1-tur bichiziqli formalardan farqi shuki, ular mos kvadratik formalari bo’yicha bir qiymatli aniqlanadilar, ya’ni agar bo’lsa, u holda bevosita hisoblashlar ko’rsatadiki,
(1)
bo’ladi (tekshiring!).
Agar kompleks o’lchovli fazoda 2-tur bichiziqli forma berilgan bo’lsa, u holda fazoning qandaydir bazisida berilgan

vektorlari uchun

bo’lib, bu yerda , bo’ladi va bu o’zaro bir qiymatli moslik bo’lib, hamma maydon ustida bichiziqli formalar maydon ustida matrisalar fazosiga

izomorf bo’ladi.
Agar fazoda boshqa bir bazis berilgan bo’lsa, u holda

bo’lib, matrisa birinchi bazisdan ikkinchi bazisga o’tish matrisasi va formaning ikkinchi bazisdagi matrisasi

bo’ladi va demak bu tenglikdan

tenglikni hosil qilib, bu yerda matrisa matrisani elementlarini mos ravishda kompleks qo’shmasiga almashtirishdan hosil bo’lib, u xosmas matrisa ham bo’ladi va demak bo’ladi.