Vektorlar sistemasining bazisi va rangi. Kanonik bazis

Vektorlar sistemasining bazisi va rangi. Kanonik bazis

Reja:

1. 
   Vektorlar sistemasining bazisi va rangi. Kanonik bazis
   
2. 
   Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining fundamental yechim-lari tizimi.
   
3. 
   Chiziqli tenglamalar sistemasi umumiy yechimining vektor shakli
   

1. Vektorlar sistemasining bazisi va rangi


n o`lchovli m ta a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, …, a<sub>m</sub> vektorlardan iborat vektorlar sistemasi berilgan bo`lib, chiziqli bog`liq sistemani tashkil etsin. a<sup>(i)</sup>, a<sup>(j)</sup>, …, a<sup>(k)</sup> (1 ≤ i < j <…< k ≤ m) sistema esa berilgan a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, …, a<sub>m</sub> sistemaning qism osti sistemalaridan biri bo`lsin.
Agar: birinchidan, a⁽ⁱ⁾, a^(j), …, a^(k) (1 ≤ i < j <…< k ≤ m) sistema chiziqli erkli; ikkinchidan, a₁, a₂, …, a_m sistemaning har bir vektori a⁽ⁱ⁾, a^(j), …, a^(k) (1 ≤ i < j <…< k ≤ m) sistema vektorlari bo`yicha yagona usulda yoyilsa, u holda a<sup>(i)</sup>, a<sup>(j)</sup>, …, a<sup>(k)</sup> (1 ≤ i < j <…< k ≤ m) vektorlar sistemasiga a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, …, a<sub>m</sub> vektorlar sistemasining bazisi deyiladi.
a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, …, a<sub>m</sub> vektorlar sistemasining har qanday chiziqli erkli qism osti sistemasini sistemaning bazisigacha to`ldirish mumkin. Berilgan a₁, a₂, …, a_m sistemaning bazislaridan birini topish uchun a₁x₁+a₂x₂+…+a_mx_m = θ vektor tenglama tuziladi va uning biror-bir ko`rinishdagi umumiy yechimi quriladi. Qurilgan umumiy yechimning bazis noma`lumlari oldidagi mos koeffitsient – vektorlardan iborat sistema uning bazisini tashkil etadi. Har qanday chiziqli bog`liq vektorlar sistemasi umumiy yechim ko`rinishlariga mos holda bir nechta bazisga ega bo`lishi mumkin. Har bir bazisdagi vektorlar soni esa tengligicha qoladi.
Berilgan a₁, a₂, …, a_m vektorlar sistemasining ixtiyoriy bazisi tarkibidagi vektorlar soniga uning rangi deyiladi.
Masala. Quyida berilgan vektorlar sistemasining bazislaridan birini quring va rangini aniqlang:
a₁(1; -1; 2; 3), a₂(-2; -3; 0; 1), a₃(-2; -9; 4; 6), a₄(-1; 2; -2; -1).
a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ + a₄x₄ = θ vektor tenglama umumiy yechimini Gauss-Jordan usulida quramiz.
 … 

x₁, x₂ va x₄ noma`lumlar umumiy yechimning bazis noma`lumlari. Demak, mos ravishda, a₁, a₂ va a₄ vektorlar tizimi berilgan sistemaning bazislaridan birini tashkil etadi. Tizim 3 ta vektordan tarkib topgani uchun berilgan vektorlar sistemasining rangi 3 ga teng.

Agar a₁, a₂, …, a_m vektorlar sistemasining rangi r ga teng bo`lsa, u holda sistemaning r ta vektoridan tuzilgan har qanday chiziqli erkli qism osti sistemasi uning bazisi bo`ladi.