Mavzu: Kvadratik formaning rangi haqidagi teorema. Inertsiya qonuni haqidagi teoremaga doir masalalar yechish. Reja

MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI
TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALRI UNIVERSITETI URGANCH FILIALI
921-21 GURUH TALABASI Komilov Asadbekning
Chiziqli algebra fanidan
MUSTAQIL ISHI

Topshrdi: Komilov A _____________

Qabul qildi: Masharipova.F_______________
Mavzu: Kvadratik formaning rangi haqidagi teorema. Inertsiya qonuni haqidagi teoremaga doir masalalar yechish.
Reja:

1. 
   Kvadrat formani kanonik ko’rinishga keltirish.
   
2. 
   Inersiya qonuni.
   
3. 
   Xulosa.
   

Biz avvaligi mavzuda kvadratik formaning aniqlanishi vektorning berilgan bazisdagi koordinatalarga bog’liq ekanligini keltirib o’tdik. Bu mavzuda kvadratik formani kvadratlar yig’indisi shakliga keltirish, ya’ni kvadratik formani
(26.1)
ko’rinishga keltiradigan bazisni topish masalasini qaraymiz.
26.1-ta’rif. Kvadratik formaning (26.1) ko’rinishidagi shakli uning kanonik (normal) shakli deb ataladi.
26.1-ta’rif. o’lchamli fazoda berilgan ixtiyoriy kvadratik forma uchun shunday bazis mavjudki, bu bazisda kvadratik forma

ko’rinishiga ega bo’ldi.
Isbot. Aytaylik, kvadratik forma biror bazisda quyidagi

ko’rinishga ega bo’lsin. Bunda lar vektorining ushbu bazisdagi koordinatalaridir.
Bazisni (26.2) formulada turli indeksli koordinatalarning ko‘paytmalari yo‘qolib boradigan qilib almashtiramiz. Bazisning xar bir almashtirilishiga ma’lum koordinatalarning xosmas almashtirilishi, va aksincha, koordinatalarning xosmas almashtirilishiga ma'lum bazis almashtirishlari to‘g‘ri kelgani uchun koordinatalarni almashtirish formulalarini yozish bilan chegaralanamiz.
kvadratik formani kanonik shaklga keltirish uchun, bizga koeffitsientlardan kamida bittasi noldan farqli bo‘lishi kerak. Bunga hamma vaqt erishish mumkin. Haqiqatan ham, nolga aynan teng bo‘lmagan kvadratik formada o‘zgaruvchining birorta ham kvadrat bo‘lmasin deb faraz qilaylik, u holda kamida bitta noldan farqli ko‘paytma, masalan, mavjud bo‘ladi. va koordinatalarni

kabi almashtirib, boshqa o’zgaruvchilarni o’zgartirishsiz qoldirsak, bunday almashtirishda hadning ko’rinishi bo’lib qoladi. Farazga muvofiq, bo’lgani uchun, bu hech qanday had bilan qisqarmaydigan, ya’ni ning koeffitsienti noldan farqli bo’ladi.
Demak, umumiylikka ziyon yetkazmagan holda (26.2) formulada deb olish mumkin. Kvadratik formada qatnashgan hadlarni ajratib yozamiz:

Bu yig’indini to’la kvadratgacha to’ldiramiz, ya’ni uni
(26.3)
ko’rinishda yozamiz, bu yerda ifoda faqat hadlar kvadratlari va ularning ko’paytmalarini o’z ichiga olgan haddir.
(26.3) ifodani (26.2) tenglikka qo’ygandan so’ng qaralayotgan kvadratik forma

ko’rinishga keladi, bunda yozilmagan hadlar o’zgaruvchilardangina tashkil topgan. Quyidagicha o’zgartirish kiritamiz




U holda kvadratik forma

ko’rinishga keladi.
ifoda (26.2) formulaning o’ng tomoniga juda o’xshash bo’lib, bunda faqat birinchi koordinata ishtirok etmaydi. koeffitsient noldan farqli deb faraz qilib, o’zgaruvchilarni yuqoridagi usulda,





formulalarga muvofiq yangidan almashtirishimiz mumkin.
Bunday almashtirishdan so’ng kvadratik forma

ko’rinishga keladi. Bu jarayonni davom ettirib, o’zgaruvchilarni bir necha bor almashtirgandan keyin o’zgaruvchilarga ega bo’lamiz. Ya’ni, kvadratik forma bu o’zgaruvchilar orqali quyidagicha ifodalanadi:

bu yerda .
Ravshanki, bo’lgan holda deb faraz qilish mumkin.
Kvadratik formani kanonik ko’rinishga keltirishning yuqoridagi teorema isotidan bayon qilingan usuli Lagranj usuli deb ataladi.